什么是并矢

在多体动力学里面有并矢的概念，其实就是一个二阶张量的表达。

矢量 $\mathbf{a}$ 和矢量 $\mathbf{b}$的并矢积 $\mathbf{ab}$定义为按下列规则变换任意矢量的变换
$$(\mathbf{ab})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})$$

我们可以说明并矢满足张量的定义(加法和数乘)：

$$\begin{array}{rl}& (\mathbf{ab})\cdot (\alpha \mathbf{c}+\beta \mathbf{d})=\mathbf{a}[\mathbf{b}\cdot (\alpha \mathbf{c}+\beta \mathbf{d})]\\ =& \mathbf{a}[\alpha (\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})+\beta (\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})]=\alpha \mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})+\beta \mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})\\ =& \alpha (\mathbf{ab})\cdot \mathbf{c}+\beta (\mathbf{ab})\cdot \mathbf{d}\end{array}$$

为什么说它是一个二阶张量呢。我们可以得到它的分量：

$$\begin{array}{rl}(\mathbf{ab}{)}_{\mathrm{ij}}& ={\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot (\mathbf{ab})\cdot {\mathbf{e}}_{\mathrm{j}}={\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot \left[\mathbf{a}\left(\mathbf{b}\cdot {\mathbf{e}}_{\mathrm{j}}\right)\right]={\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot \left(\mathbf{a}{b}_{\mathrm{j}}\right)\\ & =\left({\mathbf{e}}_{\mathrm{i}}\cdot \mathbf{a}\right)b_{\mathrm{j}}=a_{\mathrm{i}}{b}_{\mathrm{j}}\end{array}$$

有时我们也写作：

$$(\mathbf{ab}{)}_{\mathrm{ij}}=(\mathbf{a}\otimes \mathbf{b}{)}_{\mathrm{ij}}=a_{\mathrm{i}}{b}_{\mathrm{j}}$$

它的分量的总表达式可以写作：

[ a b ] = [ a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 ] = [ a 1 a 2 a 3 ] [ b 1 b 2 b 3 ] [\mathbf{a b}]=\left[\begin{array}{lll} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} \\ a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right] [ab]= ​a1​b1​a2​b1​a3​b1​​a1​b2​a2​b2​a3​b2​​a1​b3​a2​b3​a3​b3​​ ​= ​a1​a2​a3​​ ​[b1​​b2​​b3​​]

它的标架可以表示为：${\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j，i,j=1,2,3$

列举两个：

e 1 e 1 = [ 1 0 0 ] [ 1 0 0 ] = [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] e 1 e 2 = [ 1 0 0 ] [ 0 1 0 ] = [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] ⋯ \begin{array}{l} {\mathbf{e}_{1} \mathbf{e}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]} \\ {\mathbf{e}_{1} \mathbf{e}_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]} \end{array}\\\cdots e1​e1​= ​100​ ​[1​0​0​]= ​100​000​000​ ​e1​e2​= ​100​ ​[0​1​0​]= ​000​100​000​ ​​⋯

于是可以并矢（二阶张量）可以写作：

$$\begin{array}{c}\mathbf{T}=T_{11}\left({\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_1\right)+T_{12}\left({\mathbf{e}}_1{\mathbf{e}}_2\right)+\cdots +T_{33}\left({\mathbf{e}}_3{\mathbf{e}}_3\right)\\ \text{ 即 }\mathbf{T}=T_{ij}{\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j\end{array}$$

张量的本质我自我感觉就是标架（一阶张量为${\mathbf{e}}_i$，二阶张量为${\mathbf{e}}_i{\mathbf{e}}_j$,高阶以此类推）和坐标（分量）。