【python】天平最少砝码设计

题目

有一架天平，砝码的种类和个数要你来设计。给定一个整数n，则待称重的物品的重量可能是 [1,n] 之间的整数，砝码可以放在左盘也可以放在右盘，要能称出所有 [1,n] 重量的物品，请问如何设计砝码的种类和个数，使得这一套砝码的总个数最少？比如 n=3 时，至少要 2 个砝码才能称出所有重量为 1,2,3 物品。 n 的范围是 n⩽10**18

题目分析

首先拿到这一题时到底该有什么思路呢？
潜意识里可能是想着给一个N，然后我把这个N给爆搜一下，找出所有可能的结果，但是这是不行的 n⩽10**18 数据量太大。
那我换一种思路，就是：

如果我就给你1个砝码，那你最大能够称出来满足[1,n1]的这个n1是多少呢？
如果我就给你2个砝码，那你最大能够称出来满足[1,n2]的这个n2是多少呢？
如果我就给你3个砝码，那你最大能够称出来满足[1,n3]的这个n3是多少呢？

好，接下来我们在草稿纸上算一下：

1. 只有1个砝码，那我能够称出来的最大连续重量就是1，砝码的重量也是1

2. 那我们现在在1个砝码的基础上，再增加1个砝码，变成2个砝码，那这增加的砝码的重量应该是多少才合适啊，那我们不知道呀，那就先设为x吧。
   不过我们知道1，x重量的砝码它能够称的最大重量就是x+1呀，那第二大重量就是x呀，第三大重量就是x-1呀。而且我们知道如果只有2个砝码，它能够称重的最大范围是[1,2,3,4]，这样就可以得到第三大重量x-1=2，那x=3。第2个砝码的重量是3。
   

3. 同理如果在两个砝码的基础上，我再增加一个砝码，这个砝码的重量仍然设为x，那就有：
   
   3个砝码的重量依次是1，3，9 。能够表示的最大重量范围是：[1,13]

4. 这样我们就总结出规律了：
   4个砝码的话应该在1，3，9的基础上增加的砝码重量是：x-(1+3+9)=13+1,x=27
   

5. 通过上面的分析我们就可以知道，砝码的数量一旦给定，它能够称重的最大的连续重量也就确定了，而此时砝码的数量就是需要的最少的砝码的数量。比如1个砝码能够称重的最大连续重量是1，两个砝码能够称重的最大连续重量是4。所以对于给定重量的n，我们只需要确定这个n是在称重范围中的哪一个间隔中，就可以确定这个n需要的最少砝码数量了。
   

代码

"""
固有思维是给一个N，我把这个N给爆搜一下，找出所有可能的结果，但是这是不行的
我们应该换一种思维，就是：
从一开始连续，
 如果我只给你一个砝码，那你最大能够称出来的重量是多少啊
 如果我只给你2个砝码，那你最大能够称出来的重量又是多少啊
 如果我只给你三个砝码呢
...

"""
"""
新加的砝码的重量按照3**n次方增长可以使连续称重的值达到最大化
能够将称重的最大重量是1+3+9+...+3**n-1，满足等比数列求和公式
"""

"""
依次计算出有1个砝码时能够称重的最大重量，有2个砝码时能够计算出的最大重量，...
如果刚好满足N <= 最大重量 说明此时的砝码数量是最少的砝码数量
"""

N = int(input())
n = 1
while True:
    a1 = 1
    an = 3 ** (n - 1)
    q = 3
    maxWeight = (an * q - a1) / (q - 1)  # 等比数列求和公式
    if N <= maxWeight:
        print(n)
        break
    n += 1

代码2

"""
最小砝码设计，根据贪心原理，我们使用最少的砝码得到最大的连续重量
    砝码数量    能秤的最大重量         砝码类型
    1           1                   1
    2           4                   1 3
    3           11                  1 3 9
    4           40                  1 3 9 27
    ..          ..                  ...
    n           1+3+9+.+3**(n-1)    1 3 9 27..3**(n-1)

等比数列求和公式Sn = a1*(1-q**n)/(1-q)
Sn = (1-3**n)/(1-3)  向上取整
"""
import math
Sn = int(input())
n = math.log(2*Sn+1,3)
print(math.ceil(n))

参考链接
https://zhuanlan.zhihu.com/p/37895166