高中奥数 2021-09-17

2021-09-17-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题09）

在中,、分别是边、上的点,且使得.过点作边的垂线与交于点,过点作边的垂线与交于点.设是上的点,且使得.证明:、、三线共点,且.

证明

如图,设、的延长线交于.

图1

下面证明直线和重合.

注意到,则、、、四点共圆.

于是,.

又,从而,、、、四点共圆.

于是,.

所以,.

因此,、重合且、、三线共点.

由,知、、、四点共圆.

从而.

因为、、、四点共圆,所以,.

因此,即.

2021-09-17-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P045 习题10）

已知锐角,以为直径的圆为圆,以为直径的圆为圆,与圆相交于点,与圆相交于点,直线和圆相交于点、,其中点在线段上,直线和圆相交于点、,其中点在线段上.证明:四边形是圆内接四边形.

证明

如图,在圆中,是直径,点是和圆的交点,则.

图2

同理,由是和圆的交点,得.

因为,则点、在以为直径的圆上,有.

易知是直角三角形,是它的高线.

故.

同理,在中,有.

由,有,即.

又垂直于圆的直径,则.

同理,在圆中,有.

综上线段、、和都相等.

则点、、、在以点为圆心的圆上.故四边形是一个圆内接四边形.