凸优化系列——最优化问题

1. 凸优化问题介绍

        凸优化问题如下：

为什么要求不等式约束是线性函数呢？我们知道凸函数的下水平集是凸集。

为什么要求等式约束是线性的呢？线性函数表示一个超平面，他也是凸集

也就是说，对于凸优化问题，我们要求可行集是凸集

 

         对于下列问题，我们看似它不是凸优化问题，但是我们可以给它进行化简，将其化简为凸优化问题

凸函数的性质

• 局部最优解即全局最优解 

证明如下 

• 凸优化问题的最优性条件 

        证明如下，证明如下

几何解释就是，当梯度不为零时，我们找到了一个经过最优点的超平面支撑了整个凸集 

几种特殊凸问题的最优性条件

 

 

 

 

线性规划

 

 线性规划标准形式

 

         在线性规划中，如果存在最优解，则一定在顶点达到，因此，对于一个顶点x*，如果x*不是最优，我们可以从x*出发，找一个更优的点（单纯形法）

以下几类问题可转化为线性规划：

分式线性规划

 

 最小化绝对值函数

 最小化多面体函数:

 

 参考：最优化理论与方法-第四讲-凸优化问题_哔哩哔哩_bilibili