樱花的浪漫
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凸优化系列——最优化问题

1. 凸优化问题介绍

        凸优化问题如下：

为什么要求不等式约束是线性函数呢？我们知道凸函数的下水平集是凸集。

为什么要求等式约束是线性的呢？线性函数表示一个超平面，他也是凸集

也就是说，对于凸优化问题，我们要求可行集是凸集

凸优化系列——最优化问题_第1张图片

 凸优化系列——最优化问题_第2张图片

         对于下列问题，我们看似它不是凸优化问题，但是我们可以给它进行化简，将其化简为凸优化问题

凸优化系列——最优化问题_第3张图片

凸函数的性质

  • 局部最优解即全局最优解 

凸优化系列——最优化问题_第4张图片

证明如下 

凸优化系列——最优化问题_第5张图片

  • 凸优化问题的最优性条件 

凸优化系列——最优化问题_第6张图片

        证明如下，证明如下

凸优化系列——最优化问题_第7张图片

几何解释就是，当梯度不为零时，我们找到了一个经过最优点的超平面支撑了整个凸集 

凸优化系列——最优化问题_第8张图片

几种特殊凸问题的最优性条件

 

凸优化系列——最优化问题_第9张图片 凸优化系列——最优化问题_第10张图片

凸优化系列——最优化问题_第11张图片 

凸优化系列——最优化问题_第12张图片 

线性规划

 

 线性规划标准形式

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 凸优化系列——最优化问题_第14张图片

         在线性规划中，如果存在最优解，则一定在顶点达到，因此，对于一个顶点x*，如果x*不是最优，我们可以从x*出发，找一个更优的点（单纯形法）

以下几类问题可转化为线性规划：
分式线性规划
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 凸优化系列——最优化问题_第16张图片

 最小化绝对值函数

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 最小化多面体函数:

 凸优化系列——最优化问题_第18张图片

 参考：最优化理论与方法-第四讲-凸优化问题_哔哩哔哩_bilibili

 

 

 

 

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