章勤琼：运算教学中如何做到“法理兼顾”：略谈运算教学的三个要点
原创 章勤琼 数说九章 2022-03-22 21:51
（以下内容全文转自《福建教育》2022年3月刊28-31页。参考文献方式：章勤琼, 杜依铭.运算教学中如何做到“法理兼顾”——略谈运算教学的三个要点[J]. 福建教育, 2022, （3）: 28 - 31. )
摘 要：运算教学是小学阶段数学教学最重要的内容之一，理解算理掌握算法是运算教学的两个关键要素。要真正做到“法理兼顾”，发展学生的运算能力，在运算教学中需要做到以下三点：第一，体现算理理解的层次性，要真正弄清楚“理解算理”这一目标的教学内涵和不同水平；第二，重视竖式记录的关联性，竖式记录应当对应整个算理理解和思考的过程，即做好情境意义、计算过程与竖式记录的关联；第三，关注运算教学的整体性，既要关注运算教学的共性，都需要在理解算理的基础上进行竖式的记录，还需要关注理解算理和掌握算法的具体内涵和不同侧重点。
关键词：运算教学；理解算理；竖式记录；法理兼顾
作者简介：章勤琼，福建师范大学教育学院（教授），杜依铭，温州大学教育学院（研究生）
运算能力作为十大核心概念之一，是义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养之一，也是数学学科的关键能力。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》将运算能力定义为“能够根据法则和运算规律正确地进行运算的能力”，而且要求学生理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径。算理与算法是计算教学中重要的两个关键要素，二者是相互联系、有机统一的整体，能否较好地理解算理掌握算法是是否具备计算能力的主要表现。算理是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题；算法是计算的方法，解决“怎样算”的问题。算理是四则运算的依据，它是由数学概念、运算定律、运算性质等构成的。运算法则是四则运算的基本程序和方法。运算是基于法则进行的，而法则又要满足运算定律。算理为法则提供了依据，法则又使算理可操作化。因此，培养与发展运算能力要实现算理、算法的统一。
然而，实际中的运算教学还存在诸多问题。一方面，一些教师为快速求得结果而更加注重算法，而缺少运算逻辑的联系沟通，忽略了运算教学中算理与算法的结合；另一方面，虽然不少教师意识到了算理的重要性，却因为自身对其认识的不到位与局限性，导致在教学中无法准确且清晰地表述算理，找不准教学实践的切入点与落脚点，从而未能有效引导学生感知与领悟算理。甚至，有一种现象是，教师只重视计算技能的训练，忽视“算理”的训练。
算理是计算的依据，教师只有让学生明白“为什么这样算”，学生才能具备寻着规律出发往前探索的条件，才有可能寻求合理简洁的运算途径解决问题。因此，教师要实施算理与算法融合的运算教学，有效提高学生的运算能力，必须明确算理与算法兼顾的运算教学所具备的基本特征，进而提高对算理的理解和表达能力，找到算理与算法兼顾的运算教学策略。
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体现算理理解的层次性
史宁中教授在《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书中指明：算理理解是运算的本质，即运算与算理等价。近年来，虽然很多教师开始在教学中注重引导学生理解算理，但未能意识到学生对算理的理解并非一蹴而就的。大多数情况下，大部分学生通过记住计算方法能够对算式进行正确的计算，却说不出这样计算的原因，甚至有些学生无法表达算式的含义，从而导致学生无法对运算方法进行有效的迁移和准确的运用。究其原因，在于教师虽然在运算教学中设有“理解算理”的教学目标，但对于算理是什么、究竟要如何帮助学生理解算理却鲜少展开深入思考。事实上，只有教师真正弄清楚“理解算理”这一目标的教学内涵和不同水平，才能使在计算教学中有效帮助学生理解算理成为可能。而学生要真正理解并掌握基本算法，需要逐步达成以下四个不同层次。
第一，能理解“数的结构”以及算式的意义。例如，能认识到36是由“3个十和6个一”组成的，同时还能将其看成“2个十和16个一”等多种不同的组成方式，并能够明白36-8是从36中拿走8个一；如果是计算14×12，则能将其看成是14个12相加或者12个14相加，并能建构起点阵模型来表示14×12。可以说，达成这一层次是学生理解任何运算算理的基本前提。
第二，能有自己的计算方法并说明理由。其主要表现为，学生在学习某一种新的运算时，可以进行方法的探索。例如，对于36－8，能采用两种探索方法进行学习与理解：36-6-2或36-10+2，这两种方法也就是我们平常说的连减法（平十法）与破十法；对于计算14×12，除了连加法，还能结合乘法结合律和乘法分配律，选择以下4种探索方法进行学习与理解：①将14拆成2×7，计算12×2×7；②将12拆成2×6或3×4，计算12×2×6或者12×3×4；③将14拆成10和4，计算12×10＋12×4；④将12拆成10和2，计算14×10+14×2。这是算理理解的第二个层次。学生尝试与运用自己的探索方法展开运算学习，是之后进行比较、提炼通法的重要基础。
第三，能理解不同的方法，并且能够比较不同的方法。在学生呈现自己探索的方法之后，教师还要让学生对方法进行多种形式的表征，并说清楚先算什么、再算什么的计算过程。例如，在学生呈现“36-8”的两种运算方法之后，可引导学生结合“分小棒”的活动，概括出“拆一捆”“拿走8根”等关键步骤；在学习“14×12”过程中，不仅要让学生能解释自己的运算方法，还要学会对比、解释其他多种不同的方法。这是理解算理的第三个层次。学生只有经历对比、表达、多元表征的全过程，理解不同的方法之后，才能进入下一个层次。
第四，能在表征、比较的基础上提炼通法。这个层次是理解算理的最高层次，需要在理解多种不同方法的基础上通过“概括”或“变式”来达成。例如，在“36-8”的计算中，可引导学生通过“概括”实践活动提炼通法。如借助“分小棒”的活动对“平十法”和“破十法”进行比较，表面上看二者的“操作”顺序是不同的，但实质上二者的本质是一样的，都是先拆开一捆后与6根合成16根，再从16根里拿走8根，即都是先把36重组为20与16，然后计算“16－8”。这就揭示了退位减法的通法：先重组再减。对于“14×12”的计算，提炼通法的方式就需要借助“变式”。学生通过比较上述4种方法，依然较难直接概括出通法，此时教师就需要引入一个变式的过程。如在学生充分理解四种方法后进行迁移，计算23×13，从中发现方法一和方法二利用乘法结合律进行转化的方法不再适用，而方法三和方法四利用乘法分配律的方式则可以继续使用，由此提炼出通法：乘法分配律可以将所有的两位数乘两位数转化为表内乘法进行计算。
结合上述分析，我们可以认识到，计算教学中的理解算理不仅是指需要学生理解为什么可以这样算，而且要让学生能在众多不同的方法中，通过比较、筛选，找出解决问题的一般方法。当学生获得加减乘除运算内在一致的算理，从而以不变的算理来推导万变的算法，方能实现算理贯通、理法互融。
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重视竖式记录的关联性
掌握算法是计算教学的另一个要点，是指根据运算法则进行运算，一般是指列竖式进行计算。学生如果只是按照指定的法则去对无意义的符号进行机械操作，既不知道为什么要这样做，又不理解这种操作的实际意义，那么，其对算法的掌握只会停留在浅层表面，无法达到更深层次的理解。因此，运算教学应在学生理解算理的基础上指导学生掌握算法，并用竖式将算法记录下来——这个记录过程就是算理理解的直接体现，而有意义的竖式记录能深化学生对算理的理解，提高学生的运算能力。
然而，在教学实践中，竖式记录对于学生来说容易变成“背过程，写答案”的机械操作过程。这是因为学生在记录竖式时，一方面不明白为什么要进行竖式记录，即无法理解竖式的合理性；另一方面，即使在进行竖式记录，也只是在做记录竖式这一件事情，缺乏与计算过程的思考的关联性。鉴于此，竖式记录应当对应整个算理理解和思考的过程，即做好情境意义、计算过程与竖式记录的关联，让学生理解竖式记录的合理性。恰当的情境呈现能够形象直观地帮助学生理解算理与计算过程，而记录是学生算理理解和计算方法的直接体现。因此，教师需要从算理理解与竖式记录的整体性来考虑计算教学。
算理与算法兼顾的运算教学强调计算中各个环节的关联性。以“两位数乘两位数”的教学为例。“两位数乘两位数”的教学难点一是算理，二是竖式是两层的。教师要让学生理解竖式两层的含义就需要进行情境、过程与竖式的关联。对此，教师要先让学生经历不同层次算理理解的学习，明白其基本算法是将其中一个因数拆为几十和几，比如，计算14×12，实际上是计算这样三条横式：14×2=28；14×10=140；28+140=168，而后再进入竖式教学。在竖式教学过程中，教师需要先引导学生尝试将之前的计算过程用竖式进行记录，鼓励学生写出不同形式的竖式，再结合前面算理理解的学习活动，以是否能够与所给出的情境以及横式对应为标准，引导学生对写出的竖式进行筛选和排除。比如，对于14×12，可鼓励学生在已有经验的基础上尝试写出竖式。学生可能会写出三种不同形式的竖式（如图1），教师可相机引导学生以是否能够与所给出的情境以及横式对应为标准，进行对比、分析，找到正确的形式：首先，让学生通过直观观察，发现方法1中由于缺乏过程，即在竖式中直接写168，看不到14×2和14×10，因此将其排除；其次，让学生在方法2和方法3中找出上述提到的三条横式，在这个过程中，需要注重引导学生在方法3的竖式中寻找是否有记录下14×10的“内容”，从而理解为什么在竖式的第二层中记录的是14而不是140，明白这里的14是表示14个十，而不是14个一；最后，还需引导学生进一步对比方法2和方法3，理解在竖式中应该是140还是14更合理。通过这样的环节，有助于学生明白与理解，在竖式中记录的都是基本口算，即在14×12的第二层中，真正记录的是14乘以“1个十”的结果，而非14×10，因而在列竖式中，只需要记录14×1=14，由数位来决定这里的14是指“14个十”。
图1：14×12不同的竖式记录
我们可以这样认为，只有经过与横式对应的过程，学生才能真正理解竖式为什么是这样列的，并且由竖式的过程更好地理解算理。因此，情境意义、计算过程、竖式记录这三者的关联，应当成为竖式教学的基本要义。不过，在情境的选择上，教师需要考虑如何为后面的计算过程和竖式记录提供更好的支持。比如，乘法虽然都是表示几个几的意义，但有以下几种不同基本模型：①几个相同的集合；②在数线上面连续加；③点阵模型；④面积模型。在上述的“两位数乘两位数”的教学过程中，要让学生更好地理解算理，显然点阵模型更加适合。
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关注运算教学的整体性
小学数学教学中的运算主要涉及整数、小数、分数的加、减、乘、除运算及四则混合运算。不同学段的运算内容不同，对于算理的呈现方式、引导方式以及算理与算法的结构关系也不相同。因此，在运算教学中，要关注运算教学的共性，让学生明白所有运算的学习都是一样的，即需要在理解算理的基础上进行竖式的记录。此外，教师还需要关注理解算理和掌握算法的具体内涵和不同侧重点。
以除法竖式的教学为例。在记录除法的过程中，需要包含4个关键步骤：第一，平分并记录下每组获得的数量；第二，记录下已经分掉的数量的总和；第三，记录下还剩余部分的数量；第四，将剩余的部分继续转化为较小的单位，并与已有的较小单位进行合并，在下一栏记录下新的数量总和。除法竖式在小学一般有四个不同阶段的内容：表内除法、多位数除以一位数、多位数除以两位数以及小数除法。同样是要落实对除法过程的记录，这几个阶段要有不同的侧重点。在刚学习除法竖式时，学生需要理解用竖式记录除法过程的合理性；到两位数除以一位数的时候，有两个侧重点：一是不同的分的方法，从低位开始分还是从高位开始分，二是余数的处理，高位上的余数要变成10和下一位合起来继续分；到多位数除以两位数的时候，需要处理如何试商和调商；到小数除法的时候，则需要思考如何将整数除法中直接留下来的余数继续进行单位细分的问题。
教师如果没有处理好运算教学每个阶段的侧重点，将会直接影响学生接下来的学习。如在第一次学习除法竖式时，应该要让学生准确理解除法竖式为什么是这样列的，因为除法竖式和其他三种运算的竖式都不一样。理解其合理性并不容易，教师应当注重引导学生将竖式作为计算过程的记录，而不是让学生对计算的形式进行记忆和模仿。比如，计算84÷2这类题目时，教师若是引导学生先口算出结果再呈现竖式，而非通过竖式来记录每一数位除的过程，学生之后遇到比较复杂的多位数除以两位数时，就会因没法口算出结果，又没有真正掌握如何记录除的过程，出现计算困难等问题。
因此，在学生第一次接触除法竖式时，教师就应该以整体的视角进行教学，关注到竖式记录除法过程的目标与意义，同时体现出竖式记录除法过程中的每一步。基于这一考虑，学生在初次学习除法竖式时，用“有余数的除法”会更合适。以“13÷4”为例。在学生理解了“13根小棒，每4根分一组，结果怎样”的情境后，教师可以列出13÷4=3（组）……1（根）的横式。接着，教师让学生尝试列出竖式记录刚才操作的过程，一般会出现四种记录方式（如图2）。此时，教师要紧紧围绕第一次教学除法竖式的教学重点，即“让学生明白将四种竖式记录方式和前面分的过程以及横式进行对应”，引导学生理解除法竖式应该怎么列。如此，学生能够发现①和②都没有记录完整商或余数，故而不合适；作品③看似完整地记录了13除以4等于3余1，而作品④有点奇怪——多了一个12，但正是这“奇怪的方式”才能把之前除的过程真正完整地对应起来：13表示分的总数，4表示平均每份分4个或分成4份，3表示每份3个或分成3份，12表示分掉的数量，1表示剩余的量。学生经历这样的对比与分析过程，方能真正接受并理解只有作品④这样的竖式记录是合理的，进而更好地理解除法的运算过程。
图2
运算教学不是分散和孤立的，而是关联和整体的。算理的理解呈现结构化特征，即算理的理解不是对孤立的某个运算的理解，而是与其他内容相融合，并呈现循环向上的结构特征。教师只有准确把握这样的结构特征，才能有效引导学生对算理进行深化理解与主动剖析。所以，教师要实施算理与算法兼顾的教学，把运算教学看成一个整体来考虑，注重运算教学的结构化，通过算理理解的不同层次引导学生表述算理、理解算理；运用竖式记录的关联促进算理与算法的融合；根据运算教学的整体和结构设计运算教学，进而不断提高学生的运算能力。