高中奥数 2021-09-23

2021-09-23-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P049 例3）

如图,圆内接四边形中,.求证:.

图1

证明

将绕着点逆时针旋转,使与重合.

由,且是圆内接四边形知:、、三点共线.

以为圆心,为半径作圆,考虑对此圆的幂:一方面,这个幂是;另一方面,它也是,从而.

2021-09-23-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P049 例4）

如图,与相交于点、,过点的一条直线分别与、相交于点、,点在的弧上,与线段的延长线交于点,点在的弧上,与线段的延长线交于点.是的外心.求证:的充要条件是、、、四点共圆.(2007年西部数学奥林匹克)

图2

证明

设的外接圆的半径为,则,对的幂分别为

,(1)

.(2)

又因为、、、四点共圆,所以

,(3)

同理、、、四点共圆,所以

.(4)由(1)、(2)、(3)、(4)得

所以,、、、四点共圆.