【高数+复变函数】Laplace变换的卷积与逆变换

【高数+复变函数】Laplace变换的卷积与逆变换

回顾在Fourier变换中的卷积定理：【高数+复变函数】傅里叶变换的性质

定义：设函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 都是 $(-\infty ,+\infty )$ 上的 绝对可积函数, 积分
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_1(\tau )f_2(t-\tau )\mathrm{d}\tau$$
称为函数 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 在区间 $(-\infty ,+\infty )$ 上的卷积. 记 为 $\left(f_1\ast f_2\right)(t)$ 或 $f_1(t)\ast f_2(t)$。

一、Laplace变换的卷积定理

与傅里叶的卷积定理相同，只是前置条件是要满足Laplace变换存在定理

定理：设 $f_1(t)$ 和 $f_2(t)$ 满足Laplace变换 存在的条件, 即存在 $M>0$ 和 $s_0>0$, 使得
$$\left|f_1(t)\right|\le M{e}^{s_{0}t},\left|f_2(t)\right|\le M{e}^{s_{0}t}.$$
如果 $F_1(s)=\mathfrak{L}\left[f_1(t)\right],F_2(s)=\mathfrak{L}\left[f_2(t)\right]$，则 $\mathfrak{L}\left[\left(f_1\ast f_2\right)(t)\right]=F_1(s)F_2(s)$,

应用：常用于求某些函数的逆变换

例 求 $f(t)={\mathfrak{L}}^{-1}\left[\frac{s^2}{{\left(s^2+1\right)}^2}\right]$

解：$F(s)=\frac{s}{s^2+1}\times \frac{s}{s^2+1},{\mathfrak{L}}^{-1}\left[\frac{s}{s^2+1}\right]=\cos t$

$$\begin{array}{rl}\therefore f(t)& =\cos t\ast \cos t={\int }_0^t\cos \tau \cos (t-\tau )\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^t[\cos t+\cos (2\tau -t)]\mathrm{d}\tau \\ & =\frac{1}{2}(t\cos t+\sin t).\end{array}$$

二、逆变换

1. 逆变换定理

   利用Laplace变换的完全形式来推导逆变换$f(t)$：
   $$\begin{gathered} f(t)u(t)e^{-\beta t}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(\tau )u(\tau )e^{-\beta \tau }{e}^{-i\omega \tau }\mathrm{d}\tau \right]e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega \\ =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{i\omega t}\mathrm{d}\omega (t>0), \end{gathered}$$ 之后两边同乘$e^{-\beta t}$，再做变量代换可得

$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F(\beta +i\omega )e^{(\beta +i\omega )t}\mathrm{d}\omega =\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s(t>0),$$

2. 计算方法

   定理 设 $s_1,s_2,\cdots ,s_n$ 是 $F(s)$ 的所有孤立奇点(有限个), 除这些点外, $F(s)$ 处处解析, 且存 在 $R_0>0$, 当 $|s|\ge R_0$ 时, $|F(s)|\le M(r)$, 其中 $M(r)$ 是 $r$ 的实函数, 且 ${\lim }_{r\to +\infty }M(r)=0$. 选取 $\beta$, 使所有 孤立奇点都在 $\mathrm{Re}s<\beta$ 内, 则当 $t>0$ 时,
   $$f(t)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\beta -i\infty }^{\beta +i\infty }F(s)e^{st}\mathrm{d}s=\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}\left[F(s)e^{st},s_k\right]$$

   由留数定理证明，之后的使用方法和留数相同

   例：求 $F(s)=\frac{1}{s(s-1{)}^2}$ 的Laplace逆变换.

   解 $s_1=0$ 和 $s_2=1$ 分别是 $\frac{1}{s(s-1{)}^2}{e}^{st}$ 的 1 级 和 2 级极点. 故由计算留数的法则：
   $$\begin{array}{rl}& \mathrm{Res}\left[\frac{1}{s(s-1{)}^2}{e}^{st},0\right]=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{e^{st}}{(s-1{)}^2}=1,\\ & \mathrm{Res}\left[\frac{1}{s(s-1{)}^2}{e}^{st},1\right]=\underset{s\to 1}{\lim }{\left[\frac{e^{st}}{s}\right]}^{\prime }=e^t(t-1),\\ & {\mathfrak{L}}^{-1}\left[\frac{1}{s(s-1{)}^2}\right]=1+e^t(t-1)(t>0).\end{array}$$