线性代数3：矩阵

目录

矩阵研究的是什么呢？

逆阵

什么叫做逆阵？

 例题1：

 例题2：

 逆阵的存在性

定理1：

定理2：

定理3：

定理4：

拉普拉茨方程

方阵可以的条件

 例题3：

 Note1：

例题4

 Note2：

 Note3：

Note4：

 Note5：

 Note6：

Note7：

 例题5：

 逆矩阵的求法：

方法1：伴随矩阵法：

 方法2：初等变换法

方程组的同解变形：

矩阵的初等行变换。

矩阵的初等列变换。

矩阵变换的记号：

 逆阵的求解：

求矩阵：

 例题：

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矩阵研究的是什么呢？

我们拿普通的一元一次方程举一个例子：

 对于这一个简单的一元一次方程来说，我们需要分情况讨论：

我们知道，在矩阵的计算中，1就是单位矩阵E。

 所以：

 我们可以把前面的这个a的倒数看作矩阵B。

所以我们可以总结出以下结论：对于n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得A*B=E（单位矩阵）。

所以这里我们就引入了逆阵的概念。

逆阵

什么叫做逆阵？

对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=E，那么B就叫做A的逆阵，也表明矩阵A可逆。

 注意：逆阵只有在方阵中才有。

B是A的逆阵：记作

 例题1：

 

 例题2：

 

 逆阵的存在性

定理1：

 A的矩阵形成的行列式的值等于A的转置矩阵形成的行列式的值。

原因：矩阵转置是把矩阵的所有行列进行颠倒，而对于行列式来说，两个行列互相颠倒的行列式值是相同的。

定理2：

 原因：对于矩阵来说，常数乘以矩阵等于矩阵中所有元素全部乘以常数，而每一行元素都可以提取一个K，一共n行，所以提取的结果就是K的n次方。

定理3：

 A的逆阵的行列式的值等于A的行列式的倒数。

定理4：

 其中，AB是两个矩阵,CD是行列式中的常数。

拉普拉茨方程

两个同阶方阵相乘的行列式等于两个同阶方阵分别形成的行列式的乘积。

方阵可以的条件

 方阵A可逆的充要条件是方阵A形成的行列式不等于0.

我们证明充分条件：

 我们来证明必要条件：

 例题3：

这个矩阵是否可逆：

 A的可逆矩阵等于A形成行列式的倒数×A的伴随矩阵。

对于伴随矩阵，我们要求矩阵A形成的行列式的代数余子式：

 我们用代数余子式组成一个行列式，不过将代数余子式的行列进行颠倒得到：

 

 所以：

 注意：

 Note1：

 当我们已知伴随矩阵时，一定要首先把伴随矩阵转换为行列式与逆阵相乘。

例题4

 

 Note2：

A的逆阵再求逆阵等于其本身 

 Note3：

 A的转置矩阵的逆阵等于A的逆阵的转置矩阵。

Note4：

A的矩阵的M次方的逆阵等于A的逆阵的M次方。

 Note5：

KA的逆阵等于K的倒数×A的逆阵。

 Note6：

 A*B的逆阵等于B的逆阵乘以A的逆阵。

Note7：

 例题5：

 逆矩阵的求法：

方法1：伴随矩阵法：

这种方法只适用于三阶及三阶以下的矩阵使用。

 方法2：初等变换法

 我们可以把非齐次线性方程组转换为矩阵相乘的形式。对于主体矩阵A来说，矩阵A的列数决定了未知数X的个数，矩阵A的行数决定了方程的个数。

简称”一行一方程“

方程组的同解变形：

方法1：对调两个方程的顺序。

对调方程的顺序对方程的解是没有影响的。

例如：

 方法2：某一个方程×一个非零常数。

方程两边同时×一个非零常数，方程的解不发生改变。

例如：

 方法3：加减消元法：

一个方程*K加到另外一个方程上，解不发生变化。

这三种方法就是方程组的同解变形。

矩阵的初等行变换。

因为矩阵和方程组是没有区别的，所以方程组可以用的矩阵也可以用。

方法1：矩阵对调两行

方法2：一行的K倍加到另一行。

方法3：让某一行×K  K不等于0.

矩阵的初等列变换。

 但是对于方程组是不能使用初等列变换的。

矩阵的行变换与矩阵的列变换加起来叫做矩阵的初等变换。

矩阵变换的记号：

 对于这个矩阵，我们把第二行和第三行进行对调，形成如下矩阵。

 所以：

 E（2，3）不仅可以代表2，3两行对调，也可以代表2，3两列对调。

 例如：

 

 这个矩阵就叫做1型初等阵。

 因为E的结果为1，行列式交换两行或者两列的结果为原来的相反数，所以结果为-1.

 假设我们想要把第2行×4倍应该怎么写呢？

 

 这个矩阵就叫做二型初等阵。

 例如：

 

第i行*C倍，其他位都是C，所以结果为c。

 E的第i行的c倍的可逆矩阵是E的第i行的1/c。

 对于E，我们想要把第一行的二倍加到第三行。

 

 三型初等阵。

 

把行列式的第j行的K倍移动到第i行，行列式的值是不会发生改变的。

 

 

 逆阵的求解：

 对于这个矩阵方程，我们该如何求解。

我们可以这样想：先把A进行转化，通过一系列初等行变换，转化为E，这时候，我们就可以解出X的值。

对于这样的矩阵

 我们先解出矩阵对应的行列式的值。

 所以该矩阵是有逆阵的。

我们尝试把A矩阵转化为单位矩阵。

 

 所以我们可以这样写：

这里的诸多E其实可以当作矩阵。

所以存在一组初等阵P1,P2....Ps使得，P1*P2*...Ps*A=E，也就是这一串初等阵就是矩阵A的逆阵。

我们在这里也可以使用初等列变换，与初等行变换不同的地方在于初等列变换出现的E是在矩阵A的右侧的。

求矩阵：

 

 例题：