B样条基函数：2.B样条基函数的定义和性质

有很多办法可以用来定义B样条基函数以及证明它的一些重要性质。例如，可以采用截尾幂函数的差商定义，开花定义，以及由德布尔、考克斯和曼斯菲尔德等人提出的递推公式等来定义。这里采用递推定义方法，因为这种方法在计算机实现中是最有效的。

令$U=\{u_0,u_1,\cdots ,u_m\}$是一个单调不减的实数序列，即$u_i⩽u_{i+1},i=0,1,\cdots ,m-1$。其中，$u_i$称为节点，$U$称为节点矢量，用$N_{i,p}(u)$表示第$i$个$p$次（$p+1$阶）B样条基函数，其定义为
$\begin{array}{rlr}& & \\ & N_{i,0}(u)=\{\begin{array}{ll}1,& 若u_i⩽u<u_{i+1}\\ & \\ 0,& 其他\end{array}& \\ & & \\ & N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}(u)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}(u)& \end{array}(2.5)$

由此可知：

• （1）$N_{i,0}(u)$是一个阶梯函数，它在半开区间$u\in [u_i,u_{i+1})$外都为零；
• （2）当$p>0$时，$N_{i,p}(u)$是两个$p-1$次基函数的线性组合；
• （3）计算一组基函数时需要事先指定节点矢量$U$和次数$p$；
• （4）（2.5）式中可能出现$0/0$，规定$0/0=0$;
• （5）$N_{i,p}(u)$是定义在整个实数轴上的分段多项式函数，但我们一般只对它在区间$[u_0,u_m]$上的部分感兴趣；
• （6）半开区间$[u_i,u_{i+1})$称为第$i$个节点区间（knot span），它的长度可以为零，因为相邻节点可以是相同的；
• （7）计算$p$次基函数的过程生成一个如下形式的三角形阵列：
  $\begin{array}{rlrlrlrl}& N_{0,0}& & & & & & \\ & & N_{0,1}& & & & & \\ & N_{1,0}& & & N_{0,2}& & & \\ & & N_{1,1}& & & & N_{0,3}& \\ & N_{2,0}& & & N_{1,2}& & & \\ & & N_{2,1}& & & & N_{1,3}& \\ & N_{3,0}& & & N_{2,2}& & & ⋮\\ & & N_{3,1}& & & ⋮& & \\ & N_{4,0}& & ⋮& & & & \end{array}$

关于术语”断点“和”节点“，断点对应于节点序列中不同节点值构成的集合，具有非零长度的节点区间上定义了单独一段多项式段。因此，在使用节点这个术语时，具有两种不同的含义。一种指的是节点序列$U$中不同的值（断点），另一种指的是$U$中的一个元素（$U$中可能存在另外的与其相等的节点）。

令$U=\{u_0=0,u_1=0,u_2=0,u_3=1,u_4=1,u_5=1\}$，$p=2$，分别计算$0$次、$1$次和$2$次的B样条基函数。

$N_{0,0}=N_{1,0}=0,-\infty <u<\infty$
$N_{2,0}=\{\begin{array}{l}1,0⩽u<1\\ 0,其他\end{array}$
$N_{3,0}=N_{4,0}=0,-\infty <u<\infty$

$N_{0,1}=\frac{u-0}{0-0}{N}_{0,0}+\frac{0-u}{0-0}{N}_{1,0}=0,-\infty <u<\infty$
$N_{1,1}=\frac{u-0}{0-0}{N}_{1,0}+\frac{1-u}{1-0}{N}_{2,0}=\{\begin{array}{ll}1-u,& 0⩽u<1\\ 0,其他& \end{array}$
$N_{2,1}=\frac{u-0}{1-0}{N}_{2,0}+\frac{1-u}{1-1}{N}_{3,0}=\{\begin{array}{ll}u,& 0⩽u<1\\ 0,其他& \end{array}$
$N_{3,1}=\frac{u-1}{1-1}{N}_{3,0}+\frac{1-u}{1-1}{N}_{4,0}=0,-\infty <u<\infty$

$N_{0,2}=\frac{u-0}{0-0}{N}_{0,1}+\frac{1-u}{1-0}{N}_{1,1}=\{\begin{array}{ll}(1-u{)}^2,& 0⩽u<1\\ 0,其他& \end{array}$
$N_{1,2}=\frac{u-0}{1-0}{N}_{1,1}+\frac{1-u}{1-0}{N}_{2,1}=\{\begin{array}{ll}2u(1-u),& 0⩽u<1\\ 0,其他& \end{array}$
$N_{2,2}=\frac{u-0}{1-0}{N}_{2,1}+\frac{1-u}{1-1}{N}_{3,1}=\{\begin{array}{ll}{u}^2,& 0⩽u<1\\ 0,其他& \end{array}$

注意，将基函数$N_{i,2}$限制在区间$u\in [0,1]$上，恰好为$2$次Bernstein多项式，因此，节点矢量形如
$U=\{\underset{p+1}{0,\cdots ,0},\underset{p+1}{1,\cdots ,1}\}$
的B样条表示形式是Bezier表示形式的推广。

B样条基函数的重要性质，假定次数为$p$，节点矢量$U=\{u_0,u_1,\cdots ,u_m\}$。

• 局部支撑性，如果$u\notin [u_i,u_{i+p+1})$，则$N_{i,p}(u)=0$。
• 在任意给定的节点区间$[u_j,u_{i+1})$内，最多$p+1$个$N_{i,p}$是非零的，它们是$N_{j-p,p},\cdots ,N_{j,p}$ 。例如在$[u_3,u_4)$上，$0$次基函数中只有$N_{3,0}$是非零的，因此，在 $[u_3,u_4)$上非零的$3$次基函数只有$N_{0,3},N_{1,3},N_{2,3},N_{3,3}$ 。
• 非负性，对于所有的$i,p$和$u$，有$N_{i,p}(u)⩾0$ 。这可以通过对$p$利用归纳法来证明。当$p=0$时，结论显然成立；假设$p-1(p⩾0)$ 时，对任意的$i$和$u$亦成立$N_{i,p}(u)⩾0$，有定义$N_{i,p}(u)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}(u)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}(\mathbf{u})(2.6)$ 又由局部支撑性，当$u\notin [u_i,u_{i+p})$时$N_{i,p}(u)=0$ 。而当$u\in [u_i,u_{i+p})$时$\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}$是非负的。由假设$N_{i,p-1}(u)$也是非负的，因此，（2.6）式中的第一项是非负的，同理可证第二项也是非负的，故$N_{i,p}(u)$是非负的。
• 规范性，对于任意的节点区间$[u_i,u_{i+1})$，当$u\in [u_i,u_{i+1})$时$\sum _{j=i-p}^i{N}_{j.p}(u)=1$ 。为了证明这个等式，考虑$\sum _{j=i-p}^i{N}_{j,p}(u)=\sum _{j=i-p}^i\frac{u-u_j}{u_{j+p}-u_j}{N}_{j,p-1}(u)+\sum _{j=i-p}^i\frac{u_{j+p+1}-u}{u_{j+p+1}-u_{j+1}}{N}_{j+1,p-1}(u)$ ,改变第二项中的求和变量，并利用$N_{i-p,p-1}(u)=N_{i+1,p-1}(u)=0$，有$\sum _{j=i-p}^i{N}_{j,p}(u)=\sum _{j=i-p+1}^i(\frac{u-u_j}{u_{j+p}-u_j}+\frac{u_{j+p}-u}{u_{j+p}-u_j})N_{j,p-1}(u)=\sum _{j=i-p+1}^i{N}_{j,p-1}(u)$连续利用上面的方法进行递推可以得到$\sum _{j=i-p}^i{N}_{j,p}(u)=\sum _{j=i-p+1}^i{N}_{j,p-1}(u)=\sum _{j=i-p+2}^i{N}_{j,p-2}(u)=\cdots =\sum _{j=i}^i{N}_{j,0}(u)=1$
• 可微性，在节点区间内部，$N_{i,p}(u)$是无限次可微的（在每个节点区间内部，它是一个多项式）。在节点处$N_{i,p}(u)$是$p-k$次连续可微的，其中$k$是节点的重复度（multiplicity，有时也称为重数，含义相同）。因此增加次数将提高曲线的连续性，而增加节点的重复度则使连续性降低。
• 除$p=0$的情况外，$N_{i,p}$严格地达到最大值一次。

理解重节点的作用非常重要。假设节点矢量$U=\{0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5\}$ 。计算基函数时只涉及以下的节点区间，在这些区间外基函数为零：$N_{0,2}:\{0,0,0,1\}{N}_{1,2}:\{0,0,1,2\}{N}_{2,2}:\{0,1,2,3\}{N}_{5,2}:\{3,4,4,5\}{N}_{6,2}:\{4,4,5,5\}$
因而，”重复度“一次也有两种不同的理解方式：

• 节点在节点矢量中的重复度；
• 节点相对于一个特定的基函数的重复度

例如，$u=0$在节点矢量$U=\{0,0,0,1,2,3,4,4,5,5,5\}$ 中的重复度是$3$；但是，对于基函数$N_{0,2}$，$N_{1,2}$，$N_{2,2}$和$N_{5,2}$而言，$u=0$的重复度分别为$3$，$2$，$1$和$0$ 。由基函数性质可微性可知，在$u=0$处$N_{0,2}$不连续，$N_{1,2}$是$C^0$连续的，$N_{2,2}$是$C^1$连续，而$N_{5,2}$则完全不受（$u=0$的重复度的）影响（$N_{5,2}$和它的所有导数在$u=0$处都为$0$）。从$N_{1,2}$的角度看，$u=0$是一个二重节点，所以它是$C^0$连续的；而从$N_{2,2}$来看，它的所有节点重复度均为$1$，因此，它是$C^1$连续的。很明显，由上面的例子可以看出，重节点的另一个作用就是减少基函数的非零区间的个数。例如，$N_{6,2}$仅在区间$u\in [4,5)$上是非零的，它在$u=4$和$u=5$处只达到$C^0$连续。