证明正定矩阵的充要条件：全部顺序主子式大于0

定理： $f=x^{T}Ax$ 正定的充要条件是 $A$ 的全部顺序主子式大于零。

必要性：即 $f=x^{T}Ax$ 正定 $\Rightarrow$ $A$ 的全部顺序主子式大于零。

首先，由于 $f=x^{T}Ax$ 正定，即对称矩阵$A$ 是正定矩阵（有人会问为什么 $A$ 是对称矩阵，这是研究二次型的必然要求，将二次多项式转换成$f=x^{T}Ax$的形式的时候，交叉项的系数可以全部是对称的），由于实对称矩阵必可正交对角化，所以矩阵 $A$ 可以表示为：
A = Q T [ λ 1 ⋯ 0 ⋯ ⋮ λ 2 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋯ 0 λ n ] Q A = Q^T \begin{bmatrix} \lambda_1 & \cdots& 0 & \cdots& \\ \vdots&\lambda_2&0 &\cdots& \\ 0 & & && \\ \vdots&&\ddots &\cdots& \\ 0&& &\lambda_n& \end{bmatrix} Q A=QT ​λ1​⋮0⋮0​⋯λ2​​00⋱​⋯⋯⋯λn​​​ ​Q

所以 $f=x^{T}Ax=x^T{Q}^T\wedge Qx$, 令 $y=Qx$，$f={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$，对任意的 $y=(y_1,...,y_n)$，都有 $f$ 大于 0，由于$Q$是正交矩阵，所以 $x=(x_1,...,x_n)$ 能够铺满整个n维空间，则 $y=Qx=(y_1,...,y_n)$ 也能铺满整个n维空间。所以对任意非零 $y$ 都有 $f>0$ ，取 $y_i\ne 0，y_j=0(j\ne i)$，能够得到 ${\lambda }_i{y}_i^2>0$，从而 ${\lambda }_i>0$，即正定矩阵的所有特征值全大于0，自然，行列式的值 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n>0$。

记 $A_k$ 为 矩阵 $A$ 左上角的 $k$ 阶矩阵，$k=1,2,\cdots ,n-1$，由 $f=x^{T}Ax$ 对任意 $x\ne 0$ 成立，取 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_k,0,\cdots ,0)$，并记$x^{\prime }=(x_1,x_2,\cdots ,x_k)$，则 $x{}^{T}Ax=x^{\prime }{}^T{A}_k{x}^{\prime }>0$，我们可以得到 $A_k$也是正定矩阵，自然有$|A_k|>0$。从而，我们有正定矩阵$A$ 的顺序主子式全部大于0.

充分性：$A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f=x^{T}Ax$ 正定 。

对于 1 阶矩阵，任意1 阶矩阵 $A=[a]$ 的行列式为该矩阵的元素值，该矩阵的顺序主子式只有1个，即$|A|=a$，该矩阵的行列式大于 0 时，自然有对任意 $x$，$x^{T}Ax=a{x}^2>0$ 。

假设：对任意的 n - 1 阶矩阵，结论“$A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f=x^{T}Ax$ 正定” 成立。

对于 n 阶矩阵，

x T A x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + a 13 x 1 x 3 + ⋯ + a 1 n x 1 x n a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + a 23 x 2 x 3 + ⋯ + a 2 n x 2 x n ⋮ a n 1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + a n 3 x n x 3 + ⋯ + a n n x n 2 \begin{align*} x^TAx &= (x_1,x_2,...,x_n) \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \left( \begin{array}{rrrr} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \\ &= \begin{align*} a_{11}x_1^2 + a_{12}x_1x_2 + a_{13}x_1x_3+\cdots+a_{1n}x_1x_n\\ a_{21}x_2x_1 + a_{22}x_2^2 + a_{23}x_2x_3+\cdots+a_{2n}x_2x_n\\ \vdots \\ a_{n1}x_nx_1 + a_{n2}x_nx_2 + a_{n3}x_nx_3+\cdots + a_{nn}x_n^2 \end{align*} \end{align*} xTAx​=(x1​,x2​,...,xn​) ​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​an2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​ann​​ ​ ​x1​x2​⋮xn​​ ​=a11​x12​+a12​x1​x2​+a13​x1​x3​+⋯+a1n​x1​xn​a21​x2​x1​+a22​x22​+a23​x2​x3​+⋯+a2n​x2​xn​⋮an1​xn​x1​+an2​xn​x2​+an3​xn​x3​+⋯+ann​xn2​​​
将 $x^{T}AX$ 表示为：

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n{)}^2+\sum _{i=2}^n\sum _{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j\end{array}$$

其中，$b_{ij}=a_{ij}-\frac{a_{1i}{a}_{1j}}{a_{11}}$，由于 $A$ 是实对称矩阵，所以 $a_{ij}=a_{ji}$，所以 $b_{ji}=a_{ji}-\frac{a_{1j}{a}_{1i}}{a_{11}}=a_{ij}-\frac{a_{1i}{a}_{1j}}{a_{11}}=b_{ij}$.

∑ i = 2 n ∑ j = 2 n b i j x i x j = ( x 2 , x 3 , ⋯   , x n ) [ b 22 b 23 ⋯ b 2 n b 32 b 33 ⋯ b 3 n ⋮ ⋱ ⋮ b n 2 b n 3 ⋯ b n n ] ( x 2 x 3 ⋮ x n ) \sum_{i=2}^n\sum_{j=2}^n b_{ij} x_ix_j = (x_2, x_3,\cdots,x_n) \begin{bmatrix} b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2n} \\ b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ b_{n2} & b_{n3} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x_2\\ x_3\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} i=2∑n​j=2∑n​bij​xi​xj​=(x2​,x3​,⋯,xn​) ​b22​b32​⋮bn2​​b23​b33​bn3​​⋯⋯⋱⋯​b2n​b3n​⋮bnn​​ ​ ​x2​x3​⋮xn​​ ​
记 ${\sum }_{i=2}^n{\sum }_{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime T}B{x}^{\prime }$，则 B 也是实对称矩阵。

记矩阵 $A$ 左上角的 k 阶矩阵为 $A_k,k=2,3,\cdots ,n$，则
∣ A k ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 k a 21 a 22 a 23 ⋯ a 2 k a 31 a 32 a 33 ⋯ a 3 k ⋮ ⋱ ⋮ a k 1 a k 2 a k 3 ⋯ a k k ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 k 0 a 22 − a 12 a 21 a 11 a 23 − a 13 a 21 a 11 ⋯ a 2 k − a 1 k a 21 a 11 0 a 32 − a 12 a 31 a 11 a 33 − a 13 a 31 a 11 ⋯ a 3 k − a 1 k a 31 a 11 ⋮ ⋱ 0 a k 2 − a 12 a k 1 a 11 a k 3 − a 13 a k 1 a 11 ⋯ a k k − a 1 k a k 1 a 11 ∣ = ∣ a 11 a 12 a 13 ⋯ a 1 k 0 b 22 b 23 ⋯ b 2 k 0 b 32 b 33 ⋯ b 3 k ⋮ ⋱ 0 b k 2 b k 3 ⋯ b k k ∣ = a 11 ∣ b 22 b 23 ⋯ b 2 k b 32 b 33 ⋯ b 3 k ⋮ ⋱ b k 2 b k 3 ⋯ b k k ∣ \begin{align*} |A_k| &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2k}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3k}\\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ a_{k1} & a_{k2} & a_{k3} & \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}\\ & = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ 0 & a_{22}-\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}} & a_{23} -\frac{a_{13}a_{21}}{a_{11}}& \cdots & a_{2k}-\frac{a_{1k}a_{21}}{a_{11}}\\ 0 & a_{32}-\frac{a_{12}a_{31}}{a_{11}} & a_{33} -\frac{a_{13}a_{31}}{a_{11}}& \cdots & a_{3k}-\frac{a_{1k}a_{31}}{a_{11}}\\ \vdots & & & \ddots & \\ 0 & a_{k2}-\frac{a_{12}a_{k1}}{a_{11}} & a_{k3} -\frac{a_{13}a_{k1}}{a_{11}}& \cdots & a_{kk}-\frac{a_{1k}a_{k1}}{a_{11}}\\ \end{vmatrix}\\ &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1k}\\ 0 & b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2k} \\ 0 & b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3k} \\ \vdots & & & \ddots & \\ 0 & b_{k2} & b_{k3} & \cdots & b_{kk}\\ \end{vmatrix} \\ &= a_{11}\begin{vmatrix} b_{22} & b_{23} & \cdots & b_{2k} \\ b_{32} & b_{33} & \cdots & b_{3k} \\ \vdots & & \ddots & \\ b_{k2} & b_{k3} & \cdots & b_{kk}\\ \end{vmatrix} \\ \end{align*} ∣Ak​∣​= ​a11​a21​a31​⋮ak1​​a12​a22​a32​ak2​​a13​a23​a33​ak3​​⋯⋯⋯⋱⋯​a1k​a2k​a3k​⋮akk​​ ​= ​a11​00⋮0​a12​a22​−a11​a12​a21​​a32​−a11​a12​a31​​ak2​−a11​a12​ak1​​​a13​a23​−a11​a13​a21​​a33​−a11​a13​a31​​ak3​−a11​a13​ak1​​​⋯⋯⋯⋱⋯​a1k​a2k​−a11​a1k​a21​​a3k​−a11​a1k​a31​​akk​−a11​a1k​ak1​​​ ​= ​a11​00⋮0​a12​b22​b32​bk2​​a13​b23​b33​bk3​​⋯⋯⋯⋱⋯​a1k​b2k​b3k​bkk​​ ​=a11​ ​b22​b32​⋮bk2​​b23​b33​bk3​​⋯⋯⋱⋯​b2k​b3k​bkk​​ ​​
由 $A$ 的全部顺序主子式大于0, 有 $a_{11}>0,|A_k|>0$，可得 $|B_k|=\frac{|A_k|}{a_{11}}>0$

由此可得实对称矩阵 $B$ 的所有顺序主子式大于0。

根据假设，对于任意n-1阶矩阵，全部顺序主子式大于0能够得到该矩阵正定，所以 ${\sum }_{i=2}^n{\sum }_{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime T}B{x}^{\prime }$ 对于任意 $x^{\prime }\ne 0$，都大于0. 则：

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n{)}^2+\sum _{i=2}^n\sum _{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j\\ & >0\end{array}$$

由此我们可以得到，在假设对于n-1阶矩阵结论成立的情况下，能够推出对于n阶矩阵结论仍然成立，又对于1阶矩阵结论显然是成立的。所以我们就能得到：

$A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f=x^{T}Ax$ 正定 。

必要性和充分性都得到了证明，所以我们就证明了最开始的定理。