定积分解题的一些特殊方法

比较法

前置知识：黎曼积分的概念

设$f,g$在$[a,b]$上可积，如果在$[a,b]$上$f(x)\le g(x)$，则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$

证明： 因为

$${\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx\le 0$$

\qquad 所以

$${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$$

例题

比较定积分的大小：

${\int }_0^1{e}^{x}dx\underline{}{\int }_0^1{e}^{x^2}dx$

解：
\qquad 因为在$[0,1]$上$e^x\ge e^{x^2}$，所以${\int }_0^1{e}^{x}dx\ge {\int }_0^1{e}^{x^2}dx$

设求法

前置知识：牛顿-莱布尼茨公式

有时候，我们会遇到一些函数，比如

$$f(x)=g(x)+{\int }_a^{b}f(t)dt$$

我们要灵活运用积分的方法，将函数变为可解的形式。

例题

设$f(x)$在$R$上连续，$f(x)=x+2{\int }_0^{1}f(t)dt$，则$f(x)=\underline{}$。

解：令${\int }_0^{1}f(t)dt=k$，则$f(x)=x+2k$

${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^1(x+2k)dx$

k = ( 1 2 x 2 + 2 k x ) ∣ 0 1 = 1 2 + 2 k \qquad k=(\dfrac 12x^2+2kx)\bigg\vert_0^1=\dfrac 12+2k k=(21​x2+2kx) ​01​=21​+2k

\qquad 解得$k=-\frac{1}{2}$

\qquad 所以$f(x)=x+2k=x-1$