【洛谷题解/CQOI2005题解】P5764/CQOI2005 新年好

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5764
难度：普及/提高-
涉及知识点：单源汇最短路（Dijkstra算法）、深度优先搜索

题意

在一张无向图上，有 $n$ 个点，$m$ 条边，从 1 出发，需要到达点 $a,b,c,d,e$，求最少花费时间。

分析与解决

建图后发现这是一个最短路问题。

考虑以点 1,$a,b,c,d,e$ 为起点，求出到其他点的最短路，分析数据范围可得这是一个稀疏图，所以可以使用 Dijkstra 算法，这样就预处理出来了这些点到其他点的最短路径的表。然后直接 DFS 拜访顺序，共 5! 种方案，可以接受。对于每一种拜访顺序，查表找出一个点到另一个点的最短路距离，设 DFS 的状态表示为 $dfs(sum,start,distance)$，$sum$ 表示已经拜访的点的数量， $start$ 表示当前拜访到的点，$distance$ 表示拜访到当前点的总路程。

一些需要提的：

• 观察代码，在 Dijkstra 中初始化 dist 数组，所设置的大小是 4 倍的点数量，因为设置 sizeof dist 就白给了。
• 每次需要操作 vis 数组之前都需要初始化一遍
• 对于 $vis[i]$，i 指的是一个元素在它数组中的对应下标而不是元素本身，所以在譬如更新 res 时请务必分清楚 dist 数组要写具体的点编号

关于 SPFA，它没了。

AC代码

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 5e4 + 10, M = 2e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m;
int source[6];
int e[M], h[N], ne[M], w[M], idx;
int dist[6][N];
bool vis[N];

void add(int a, int b, int c)
{
	e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void dijkstra(int start, int dist[])
{
    memset(vis, 0, sizeof vis);
	memset(dist, INF, N * 4);
	dist[start] = 0;
	
	priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
	q.push({0, start});
	
	while (q.size())
	{
		auto now = q.top();
		q.pop();
		int now_u = now.second;
		
		if (vis[now_u]) continue;
		vis[now_u] = true;
		
		for (int i = h[now_u]; ~i; i = ne[i])
		{
			int j = e[i];
			if (dist[j] > dist[now_u] + w[i])
			{
				dist[j] = dist[now_u] + w[i];
				q.push({dist[j], j});
			} 
		}
	} 
	return;
}

//dfs(数量，当前所在点，总路程)
int dfs(int u, int start, int distance)
{
	if (u > 5) return distance;
	
	int res = INF; //总路程 
	for (int i = 1; i <= 5; i++)
	{
		if (!vis[i])
		{
			int next = source[i];
			vis[i] = true;
			res = min(res, dfs(u + 1, i, distance + dist[start][next]));
			vis[i] = false;
		}
	}
	return res;
}

int main()
{ 
    scanf("%d%d", &n, &m);
	source[0] = 1;
	memset(h, -1, sizeof h);
	
	for (int i = 1; i <= 5; i++) scanf("%d", &source[i]);
	for (int i = 1; i <= m; i++)
	{
		int a, b, c;
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		add(a, b, c);
		add(b, a, c);
	}
	
	for (int i = 0; i <= 5; i++) dijkstra(source[i], dist[i]);
	memset(vis, 0, sizeof vis);
	printf("%d\n", dfs(1, 0, 0));
	return 0;
}