算法02-入门算法枚举与模拟算法

总结

本系列为C++算法学习系列，会介绍 算法概念与描述，入门算法，基础算法，数值处理算法，排序算法，搜索算法，图论算法， 动态规划等相关内容。本文为枚举算法与模拟算法部分。

大纲要求

【 1 】枚举法
【 1 】模拟法

枚举算法

在数学和计算机科学理论中，一个集的枚举是列出某些有穷序列集的所有成员的程序，或者是一种特定类型对象的计数。这两种类型经常（但不总是）重叠。枚举是一个被命名的整型常数的集合！。

枚举思想

枚举:列出某些有穷序列集的所有成员，或者对一种特定类型对象的计数

①有限的范围
②所有的成员
③特定的类型

根据枚举的定义：

数图形的时候∶

只在一个大图中数。——有限的范围
要求在各种几何形状数图形——所有的成员
从中统计矩形的数量——特定的类型

有同学可能会问∶所有的成员为什么是各种几何图形，而不是所有的矩形呢?
归根结底就是枚举时宁可多，但不能漏!

如果能确定某个问题的答案在一定的范围内，那么我们就列举这个范围内的所有成员（或者确定能包括答案的特定成员)，再通过筛选和判断锁定特定类型，最后得出答案。

定范围
列成员
选类型
算答案

枚举举例

题目描述 统计因数

题目描述
任意一个自然数N都可以分解质因数，如果写出如下形式：
$N=P_1^{M1}\ast P_2^{M2}\ast ...\ast P_n^{Mn}$
那么N一共有有$(M1+1)\ast (M2+1)\ast ...\ast (Mn+1)$个因数，包括1和N本身
例如$36=2^2\ast 3^2$，那么36一共有(2+1)*(2+1)=9个因数，包括1和36.
解题思路
用枚举思想来验证：

1. 定范围：36的因数一定是1到36之间的正整数
2. 列成员 1 2 3 4 …36
3. 选类型+算答案 1.2.3.4.6.9.12.18.36，共9个。

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{
    int s=0;
    for(int i =1; i<=36; i++ )
    {
        if(36%i==0) {
                cout<<i<<" ";
                s++;
        }
    }
    cout<<endl<<s;

    return 0;
}

输出为：

题目描述 质数判定

题目描述
如果一个数n，除了1和他本身，没有其他的因数，这个数就是质数
方法一：枚举所有可能是n的因数的数，统计有多少个因数，如果只有两个，那么这个数是质数，否则不是。
方法二：枚举2到n-1之间的自然数，如果存在n的因数，那么这个数可定不是质数，如果不存在n的因数，那么这个数是质数

那么我们怎么“定范围”?——按照方法一的话，范围就是1到这个数本身。
怎么列成员——列举所有的自然数
怎么选类型——判断是否能整除给定数字
怎么算答案——找到一个整除的，则统计因数增加一次，最后看有多少个因数。如果只有2个，那就是质数，否则是合数。

错误方法一：

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{
    int n=0;
    cin>>n;
    int flag = 1;//1表示是质数，0表示不是质数
    for(int i =2; i<=n-1; i++ )
    {
        if(n%i==0) {
                flag = 0;
        }
        else{
            flag = 1;
        }
    }
    if(flag==1) cout<<"是质数";
    else cout<<"不是质数";

    return 0;
}

优化方法1： 用break实现优化

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{
    int n=0;
    cin>>n;
    int flag = 1;//1表示是质数，0表示不是质数
    for(int i =2; i<=n-1; i++ )
    {
        if(n%i==0) {
                flag = 0;
                break;
        }
    }
    if(flag==1) cout<<"是质数";
    else cout<<"不是质数";

    return 0;
}

质数判定的进一步优化∶平方根优化。其实我们还可以进一步缩小枚举的范围。过去我们枚举的范围是2到n-1，其实并不必要，只要枚举2-sqrt(n)即可。这是因为，如果n能够分解成两个数的乘积，那么其中一个必须≤sqrt(n)，另外一个≥sqrt(n);这里，sqrt(n)表示n的平方根。
_{测试2147483647}

优化方法2： sqrt(n)

#include 
#include
//#include

using namespace std;

int main()
{
    int n=0;
    cin>>n;
    int flag = 1;//1表示是质数，0表示不是质数
    int t = sqrt(n);
    for(int i =2; i<=t; i++ )
    {
        if(n%i==0) {
                flag = 0;
                break;
        }
    }
    if(flag==1) cout<<"是质数";
    else cout<<"不是质数";

    return 0;
}

题目描述 水仙花数

题目描述
水仙花数是一种自幂数，有如下两个特点：
1.是三位数
2.各个数位上的数字的三次方和等于他本身，六日
153= 111 + 555 + 333
输入
无
输出
所有的水仙花数，每一个数字占一行。
样例输入
无
样例输出
153
…
解题思路

定范围：所有的三位数 100-999
列成员：100-999之间所有的自然数
选类型：符合各个数位上数字的三次方和等于本身的才是特点的类型
算答案：找到特点类型数字马上输出

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{

    for(int i =100; i<=999; i++ )
    {
        int a=i/100,b=i/10%10,c=i%10;
        if(a*a*a+b*b*b+c*c*c==i) cout<<i<<endl;

    }
    return 0;
}

输出入下：

题目描述 7744问题

题目描述
列出所有满足下列条件的数字
1.是四位数
2.是完全平方数
3.前2位数字相同，后2位数字也相同
输入
无
输出
每行一个符合条件的数字
样例输入
无
样例输出
7744
…

实现方法1

定范围：所有的四位数 1000-9999
列成员：100-9999之间所有的自然数
选类型：
符合完全平方数，即sqrt(i) = (int)sqrt(i);
且前2位数字相同，后两位数字相同
int a = i/1000,b=i/100%10,c=i/10%10,d=i%10;
if(a==b && c==d)
算答案：找到特点类型数字马上输出

#include 
#include
//#include

using namespace std;

int main()
{

    for(int i =1000; i<=9999; i++ )
    {
        if(sqrt(i)==(int)sqrt(i))
        {
            int a=i/1000,b=i/100%10,c=i/10%10,d=i%10;
            if(a==b&&c==d) cout<<i<<endl;

        }

    }
    return 0;
}

优化方法2

【7744问题-浮点数运算有误差，如果想避开浮点数应该如何做?】

列成员
用循环变量直接列举1000~9999的完全平方数;
枚举i*i的值，而不是仅枚举i，我们需要根据此需要确定i的范围
定范围
由10000>9999> =i*i>=1000推知:99> =i>=32 ;
for(int i=32;i<=99;i++){
int t=i*i;
}
选类型
前两位相同，后两位相同
把四个数位上数字分别取出再比较:
int a=t/1000,b=t/100%10,c=t/10%10,d =t%10;. if(a= =b&&c==d)则前两位相同，后两位相同;
算答案:
符合条件的t是答案

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{

    for(int i =32; i<=99; i++ )
    {
        int t=i*i;
        int a=t/1000,b=t/100%10,c=t/10%10,d=t%10;
        if(a==b&&c==d) cout<<t<<endl;
    }
    return 0;
}

题目描述 余数相同问题

题目描述
已知三个正整数a,b,c。
现有一个大于1的整数x，将其作为除数分别除a, b，c，得到的余数相同。请问满足上述条件的x的最小值是多少?
数据保证x有解。
输入
一行，三个不大于1000000的正整数a， b，c，两个整数之间用一个空格隔开。
输出
一个整数，即满足条件的x的最小值。
样例输入
300 262 205
样例输出
19
…

定范围：
数据保证有解，只需要求x最小的值。上限不需确定，找到解后，break就可。
保险起见，余数不会大于被除数和除数，范围可以设定位2到三个数字中的任意一个。
列成员：
从小到大列举范围内的整数
for(int i=2;i<=a;i++){
}
选类型：
分别除以a,b,c 得到的余数相同 a%i==b%i&&b%i==c%i
算答案：
找到特点类型数字i马上输出

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{
    int a,b,c;
    cin>>a>>b>>c;
    for(int i=2;i<=a;i++){
        if(a%i==b%i && b%i==c%i){
            cout<<i;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

题目描述 特殊自然数

题目描述
一个十进制自然数，他的七进制和九进制表示都是三位数，且七进制和九进制数码的表示顺序正好相反，编程求此自然数，并输出显示。
输入
无
输出
三行：
第一行是此自然数的十进制表示；
第二行是此自然数的七进制表示；
第三行是此自然数的九进制表示。
样例输入
无
样例输出
略
…

预备知识

十进制与N进制的互相转换：
N进制：位权为N的数制。
十进制：$(1234{)}_{10}=1\ast 10^3+2\ast 10^2+3\ast 10^1+4\ast 10^0$
从低位到高位分别为第0位，第1位，第2位…
七进制：
$(1234{)}_7=1\ast 7^3+2\ast 7^2+3\ast 7^1+4\ast 7^0$
把N进制的数字按照 位权 展开，计算得到的数字就是十进制的数字了。
N进制下的数位拆分：
十进制下，M%10=十进制表示下的最末尾。
N进制下，M%N=N进制表示下的最末尾。
$(1234{)}_7=1\ast 7^3+2\ast 7^2+3\ast 7^1+4\ast 7^0$
$(1234{)}_7\%7=(1\ast 7^3+2\ast 7^2+3\ast 7^1+4\ast 7^0)\%7=4$余数定理

定范围：
在十进制下定范围，七进制和九进制下是三位数
七进制下的最大数位666，最小的三位数位100，转换为十进制得到范围为$(100{)}_7=49,(666{)}_7=6\ast 49+6\ast 7+6\ast 1=342$范围i为[49,342]
九进制下的最大数位888，最小的三位数位100，转换为十进制得到范围为$(100{)}_9=81,(888{)}_9=8\ast 81+8\ast 9+8\ast 1=728$范围i为[81,728]
取公共部分，这个数在十进制表示下，应属于[81,342]
列成员：
列举从81-342范围内的整数
for(int i=81;i<=342;i++){
}
选类型：
七进制和九进制下数字正好相反，设七进制下ABC，九进制下abc
int A=i/7/7%7,B=i/7%7,C=i%7;
int a=i/9/9%9,b=i/9%9,C=i%9;
如果A==c&&B==b&&C==c，那么i符合题意
算答案：
若符合提议，则输出答案，依次输出i,ABC,abc每个答案占据一行

#include 
//#include

using namespace std;

int main()
{
    for(int i=81;i<=342;i++){
        int A,B,C,a,b,c;
        A=i/7/7%7,B=i/7%7,C=i%7;
	    a=i/9/9%9,b=i/9%9,c=i%9;
        if(A==c&&B==b&&C==a){
            cout<<i<<endl;
            cout<<A<<B<<C<<endl;
            cout<<a<<b<<c<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

输出为：

枚举思想

枚举思想
枚举的一般解题步骤
运用枚举的思想解决因数统计、质数判断等问题质数判断的平方根优化
break和continue
N进制的定义

模拟法-一维数组

模拟算法就是模拟题目给的操作，用代码一步一步的描述出来即可。在过程中使用的都是我们已知的各种方法，如数组元素调用、排序、枚举等等，只是这些过程一般比较复杂。本次课程主要针对一位数组的模拟。

题目描述 开关灯

思路引导

因为灯只会出现O和1两种情况，我们可以使用数组元素来表示（类似桶)，随后只需要重复m次，每次寻找当前序号的倍数为下标的元素进行更改，如果是1就变成0，是O就变成1。
最后对数组元素进行判断，找出是0的元素，就行数组元素下标的输出。
输出时要注意的问题是用逗号隔开不同于用空格隔开。如果放在数据后面输出，那么最后一个数据后不应有逗号。这样不方便判断。可以反过来想一想，把逗号放在数据前输出怎么办?

#include

using namespace std;

int a[1010];//全部是0，表示关闭
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=2; i<=m; i++) //从第二个人开始操作
        for(int j=i; j<=n; j+=i) //l编号对应倍数下标
            if(a[j]==1)a[j]=0;
            else a[j]=1;//更改状态
    int cnt=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        if(a[i]==0)
        {
            cnt++;//引入计数器，用于确定第一个编号;
            if(cnt==1) cout<<i;//r第一个前面不需要逗号;
            else cout<<","<<i;//其他要间隔逗号输出
        }
    return 0;
}

题目描述 序列操作和查询

思路引导

对题目的要求一步一步的实行，先保证数组的输入以后，需要对三种情况进行分类处理。
第一种处理里面有输出，后面两种都是在操作。操作的要点是数组的插入和删除。
插入的话，就要求插入位置后面所有数字向后移动一步，数组长度增加，从后往前实现a[i+1]=a[i]的操作;
而删除则需要当前位置后面所有的数字向前移动一步，实现a[i]=a[i+1]。这里需要注意移动的方向。

#include
using namespace std;
int a[1001];
int main()
{
    int n,m,p,q,v;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>a[i];
    cin>>m;
    for(int i=0; i<m; i++)
    {
        cin>>p;
        if(p==1)
        {
            cin>>q;
            cout<<a[q]<<endl;
        }
        else if(p==2)
        {
            cin>>q>>v;
            for(int j=n; j>=q; j--) //挨个向后移动
                a[j+1]=a[j];
            a[q]=v;//单独把插入的数字放入位置
            n++;//数组长度加1
        }
        else //p==3
        {
            cin>>q;
            for(int j=q; j<n; j++) //挨个向前移动
                a[j]=a[j+1];
            n--;//数组长度减1}
        }

    }
    return 0;
}

题目描述 数组折叠

思路引导

数组对折，需要把后半部分移动到前半部分对应位置进行数组相加，所以移动次数为n/2(即循环次数)，然后需要进行的就是数组加法，最后要对数组长度也做n/2的操作，但是这里需要注意的是，如果长度是奇数不能只是简单的n/2哦。
对称位置怎么找?如果数组下标从1开始，那么第i个元素的对称元素位置是谁?
找找规律:1对n ;2对n-1;3对n-2 ;i对什么?

#include
using namespace std;
int a[10010];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        for(int j=1; j<=n/2; j++)
            //第一个到中间会变化
            a[j]+=a[n-j+1];
        //当前位置元素加上中线对称的元素
        if(n%2!=0)
        //长度为奇数的数组特殊处理
            n++;
        n/=2;  //数组长度对折
    }
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout<<a[i]<<' ';
    return 0;
}

题目描述 数字消除

#include
using namespace std;
int s[10010];
int main()
{
    int n,a,num;
    cin>>n>>a;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>s[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=i;j<=n;j++){
            //从i出发，找与a相同的
            if(s[j]==a) num++;
            else break;
        }
        if(num>=3)//如果练习相同的超过3个
            i=i+num-1;//将下标跳过
        else cout<<s[i]<<" ";//否则正常输出
        num=0;//计数器归零
    }
    return 0;
}

模拟法-图形模拟

通过代码实现图形的变化，如放大、缩小、旋转等。这里说的图形大多数可以看成是二维数组，主要是对二维数组行下标和列下标的深入研究。

题目描述 图像放大

#include
using namespace std;
int a[110][110];
int ans[110][110];
int m,n,k;
int main()
{
    cin>>m>>n>>k;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            cin>>a[i][j];
            int x=(i-1)*k;
            int y=(j-1)*k;
            for(int u=x+1;u<=x+k;u++){
                    for(int v=y+1;v<=y+k;v++){
                        ans[u][v]=a[i][j];
                    }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=m*k;i++){
        for(int j=1;j<=n*k;j++){
            cout<<ans[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    return 0;
}

题目描述 图像旋转

将数组逆时针旋转90度

#include
using namespace std;
const int N = 1005;
int jpg[N][N];

int main()
{
    int n ,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < m; j++)
            cin>>jpg[i][j];
    for(int i = m-1; i >= 0; i-- )
    {
        for(int j = 0; j < n; j++)
            cout<<jpg[j][i]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

题目描述 图像左右翻转

#include
using namespace std;
const int N = 1005;
int a[N][N],b[N][N];

int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
        {
            cin>>a[i][j];
            b[i][m-j+1]=a[i][j];
        }

    }


    for(int i =1; i <= n; i++ )
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            cout<<b[i][j]<<" ";
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

题目描述 二维数组回形遍历

给定一个row行col列的整数数组array，要求从array[0][0]元素开始，按回形从外向内顺时针顺序遍历整个数组。如图所示：

输入

输入的第一行上有两个整数，依次为row和col。
余下有row行，每行包含col个整数，构成一个二维整数数组。
（注：输入的row和col保证0 < row < 100, 0 < col < 100）

输出

按遍历顺序输出每个整数。每个整数占一行。

样例输入

4 4
1 2 3 4
12 13 14 5
11 16 15 6
10 9 8 7

样例输出

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

#include
using namespace std;
int a[100][100];
int n,m,r1,r2,c1,c2;
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<=m; j++)
            cin>>a[i][j];
    r1=1;
    r2=n;
    c1=1;
    c2=m;
    while(r1<=r2&&c1<=c2)
    {
        for(int j=c1; j<=c2; j++)
            cout<<a[r1][j]<<endl;
        for(int i=r1+1; i<=r2; i++)
            cout<<a[i][c2]<<endl;
        if(r1!=r2)
            for(int j=c2-1; j>=c1; j--)
                cout<<a[r2][j]<<endl;
        if(c1!=c2)
            for(int i=r2-1; i>r1; i--)
                cout<<a[i][c1]<<endl;
        r1=r1+1;
        r2=r2-1;
        c1=c1+1;
        c2=c2-1;
    }
    return 0;
}