[Eigen中文文档] 稠密矩阵分解函数对比

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英文原文(Benchmark of dense decompositions)

本页介绍了 Eigen 为各种方阵和过约束问题提供的稠密矩阵分解的速度比较。

有关线性求解器、分解的特征和数值鲁棒性的更一般概述，请查看 此表。

该基准测试已在配备英特尔酷睿 i7 @ 2.6 GHz 的笔记本电脑上运行，并使用启用了 AVX 和 FMA 指令集但没有多线程的 clang 进行编译。使用单精度浮点数，对于 double，可以通过将时间乘以一个因子 2 来得到一个很好的估计。

方阵是对称的，对于过约束矩阵，测试报告的时间包括计算对称协方差矩阵 $A^{T}A$ 的成本，对于前四个基于 Cholesky 和 LU 的求解器，用符号 * 表示（表的右上角部分）。计时以毫秒为单位，因素与LLT分解有关， LLT分解速度最快，但也是最不通用和鲁棒的。

* : 此分解不支持对过度约束问题的直接最小二乘求解，并且报告的时间包括计算对称协方差矩阵 $A^{T}A$ 的成本。

总结：

• LLT始终是最快的求解器。
• 对于很大程度上过度约束的问题，Cholesky/LU 分解的成本主要由对称协方差矩阵的计算决定。
• 对于大型问题，只有实现缓存友好阻塞策略的分解才能很好地扩展。包括LLT、PartialPivLU、HouseholderQR和BDCSVD。这解释了为什么对于 4k x 4k 矩阵，HouseholderQR比LDLT更快。后面的Eigen版本，LDLT和ColPivHouseholderQR也会实现缓存友好阻塞策略。
• CompleteOrthogonalDecomposition基于ColPivHouseholderQR，因此它们达到了相同的性能水平。

上表由 bench/dense_solvers.cpp 文件生成，可以随意修改它以生成与你的硬件、编译器和问题大小相匹配的表格。