代码随想录算法训练营第五十七天 | 回文

647. 回文子串

文档讲解：代码随想录 (programmercarl.com)

视频讲解：动态规划，字符串性质决定了DP数组的定义 | LeetCode：647.回文子串_哔哩哔哩_bilibili

状态：不会做。

思路

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   本题如果我们定义，dp[i] 为 下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

   dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。所以我们要看回文串的性质。 如图：

   

   在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

   那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串的下表范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下表范围[i + 1, j - 1]）） 是否是回文。

   所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

   布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。

2. 确定递推公式

   整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

   当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

   当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

   • 情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
   • 情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
   • 情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

   递归公式如下，

   if (s[i] == s[j]) {
       if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
           result++;
           dp[i][j] = true;
       } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
           result++;
           dp[i][j] = true;
       }
   }
   

   result就是统计回文子串的数量。

   注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

3. dp数组如何初始化

   dp[i][j]可以初始化为true么？ 当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

   所以dp[i][j]初始化为false。

4. 确定遍历顺序

   首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角。

   所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

   有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

   注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。

代码

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

516.最长回文子序列

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视频讲解：动态规划再显神通，LeetCode：516.最长回文子序列_哔哩哔哩_bilibili

状态：不会做。

思路

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

   dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

2. 确定递推公式

   如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;如图：

   

   如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

   加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

   加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

   那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

   

   代码如下

   if (s[i] == s[j]) {
       dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
   } else {
       dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
   }
   

3. dp数组如何初始化

   首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出 递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

   所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

   其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

   vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
   for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
   

4. 确定遍历顺序

   从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图：

   

   所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

   j的话，可以正常从左向右遍历。

   for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
       for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
           if (s[i] == s[j]) {
               dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
           } else {
               dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
           }
       }
   }
   

代码

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};