线性代数：特征值、特征多项式和特征向量

Sylvester降幂公式（特征多项式的降阶计算公式）

设 $A$ 与 $B$ 分别是 $m\times n$ 与 $n\times m$ 矩阵， $m\ge n$. 则
$$|\lambda I_m-AB|={\lambda }^{m-n}|\lambda I_n-BA|$$

例： 设 $u$ 是 $n$ 维单位向量，求 $n$ 阶实Householder矩阵 $I-2u{u}^T$ 的特征值及它的迹和行列式.
解： 由Sylvester降幂公式，
$$|\lambda I-(I-2u{u}^T)|=|(\lambda -1)I+2u{u}^T|=(\lambda -1{)}^{n-1}|\lambda -1+2u^{T}u|=(\lambda -1{)}^{n-1}(\lambda +1).$$
由此知，$\lambda =1$ 是 $n-1$ 重根，而 $\lambda =-1$ 是 $1$ 重根. 因此，$tr(I-2u{u}^T)=n-2$ ；$|I-2u{u}^T|=-1.$

注：所有特征值之和是迹，所有特征值之积是行列式。

[参考资料]
百度文库：特征值与矩阵的Jordan标准型