2021-09-05-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题08）
如图,在中,,一个圆内切于的外接圆于,并与、分别相切于、两点.求证:线段的中点是内切圆的圆心
图1
证明
因为且都是的两条弦,所以点到、的距离相等,则在的平分线上.
又因为小圆与,都相切,所以小圆的圆心也在的平分线上,所以小圆的圆心、点及点三点共线且该直线经过两圆切点,为图形对称轴.
图2
设交于,由对称性可知,为中点.
因为,,所以.
设,则.
连结、、、,则,由轴对称性知,.
因为为直径,所以,所以、、、四点共圆.
所以,所以平分.
又因为平分,所以为内心,所以线段的中点是内切圆的圆心.
2021-09-05-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题09）
在的边、、上分别取点、、.证明:以、、的外心为顶点的三角形与相似.
证明
设、、是、、的外心,作出六边形后再由外心性质可知,,.
图3
所以.
从而又知.
将绕着点旋转到,
易判断,,同时可得.
所以.
同理有.
故.