高中奥数 2021-09-05

2021-09-05-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题08）

如图,在中,,一个圆内切于的外接圆于,并与、分别相切于、两点.求证:线段的中点是内切圆的圆心

图1

证明

因为且都是的两条弦,所以点到、的距离相等,则在的平分线上.

又因为小圆与,都相切,所以小圆的圆心也在的平分线上,所以小圆的圆心、点及点三点共线且该直线经过两圆切点,为图形对称轴.

图2

设交于,由对称性可知,为中点.

因为,,所以.

设,则.

连结、、、,则,由轴对称性知,.

因为为直径,所以,所以、、、四点共圆.

所以,所以平分.

又因为平分,所以为内心,所以线段的中点是内切圆的圆心.

2021-09-05-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P034 习题09）

在的边、、上分别取点、、.证明:以、、的外心为顶点的三角形与相似.

证明

设、、是、、的外心,作出六边形后再由外心性质可知,,.

图3

所以.

从而又知.

将绕着点旋转到,

易判断,,同时可得.

所以.

同理有.

故.