数论与组合数学 期末总结（完结）

自然数的基本性质

• 数学归纳法(Principle of Mathematical Induction)
  $n=n_0$时成立，且$n=k$成立$\Rightarrow n=k+1$成立，则定理对$n\ge n_0$成立
• 良序定理(Well Ordering Principle)
  每个非空集合都存在一个最小元素

整除

定义：$a|b$ 代表 $b=ax(a,b,x\in Z,a\ne 0)$,读作a整除b
性质：

• $\forall n\in N,n|0$
  任何自然数可整除0
• $a|b,b|c\Rightarrow a|c$
  a整除b，b整除c$\Rightarrow$a整除c
• $a|b,a|c\Rightarrow a|bx+cy$ ,$\forall x,y\in Z$
  a整除b，a整除c$\Rightarrow$a整除(bx+cy)，其中x,y是任意整数

定理：

• $a,b\in Z,a>0,\exists q,r\in Z$，使得$b=aq+r,0\le r<a$
  b可以拆成q倍的a+余数的形式，r必须>=0

最大公约数（GCD）

定理

-设$g=gcd(a,b),\exists x_0,y_0\in Z$使得$g=a{x}_0+b{y}_0$

辗转相除法=欧几里得算法

int gcd(int a,int b){
	if(a<0)a=-a;
	if(b<0)b=-b;
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

互质 Coprime

定义：gcd(a,b)=1，称a,b互质
推论

• $gcd(a,m)=1,gcd(b,m)=1\Rightarrow gcd(ab,m)=1$
  a,m互质，b,m互质，推出ab和m互质
• $c|ab,gcd(c,a)=1\Rightarrow c|b$
  c整除ab,c,a互质，推出c整除b

素数

定义：p(整数p>1)的因子只有1和它本身

算数基本定理

任何正整数都可以被拆分为一系列素数的幂次的乘积，且分解唯一

定理

• 素数的个数无限
  素数生成方法：${\prod }_{i=1}^n{p}_i+1$

同余

定义：$a\equiv bmodm$ 代表 $m|(a-b)(a,b,m\in Z,m\ne 0)$
性质：
当$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm)$时，

• $a+c\equiv b+d(modm)$
• $ac\equiv bd(modm)$
• $a^k\equiv b^k(modm)$

定义：
完全剩余系：mod m的互不同余的所有数的集合
既约剩余系：mod m的互不同余且和m互质的所有数的集合

欧拉定理

欧拉函数

定义：$\varphi (m)$代表m的既约剩余系的元素个数

• 对于素数来说，这个函数的结果是m-1
• p是素数，k>=1，则$\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}=p^k(1-\frac{1}{p})$
• m,n互质 $\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)$
• n可用算术基本定理拆开,$\varphi (n)=n{\prod }_{p|n}(1-\frac{1}{p})$

定理：
${\sum }_{d|n}\varphi (d)=n$

$gcd(a,m)=1\Rightarrow a^{\varphi (m)}\equiv 1modm$
前提条件是a,m互质

费马小定理

p是质数，a是整数，则 $a^p\equiv amodp$

威尔逊定理

p是素数，$(p-1)!\equiv -1modp$

逆元

定义：$gcd(a,m)=1,\exists$$bmodm$使得$ab\equiv 1modm$，称b是a的逆元
a,m必须互质，a才有逆元，逆元唯一

求逆：欧几里得扩展算法

gcd(a,n)=1时，求$a^{-1}modn$
先用辗转相除法，拆到最后剩余1时回溯

线性同余方程组$(ax=bmodm)$

有解判定：令g=gcd(a,m)，当且仅当g|b时，ax=b mod m才有解，且有g mod m个解

求线性同余方程组：中国剩余定理

$$\{\begin{array}{c}x=a_{1}mod{m}_1\\ x=a_{2}mod{m}_2\\ ...\\ x=a_{k}mod{m}_k\end{array}$$
$M_i=\frac{\prod m_i}{m_i}$
$y_i=M_i^{-1}mod{m}_i$
$x=\sum a_i{M}_i{y}_{i}mod(\prod m_i)$
如果x前面有系数，先求逆乘到右边，将之化为标准形式

高次同余方程组

Hensel引理

$f(x)\in Z(x),f(a)=0mod{p}^k,f^{\prime }(a)\ne 0modp\Rightarrow \exists tmodp,f(a+t{p}^k)=0mod{p}^{k+1}$
t唯一，且$t=-(\frac{f(a)}{p^k}\frac{1}{f^{\prime }(a)})modp$
代入t得$f(a+t{p}^k)=f(a-\frac{f(a)}{f^{\prime }(a)})$

模多项式

p是素数，f(x)最高次为n，f(x)=0 mod p最多有n个解
定理：
$f(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_0$,f(x)=0 mod p有n个不同解$\iff f(x)|x^p-xmodp$
推论：
$d|p-1\Rightarrow x^d=1modp$有d mod p个不同解

阶

定义：gcd(a,m)=1，满足$a^h=1modm$的最小正整数h是a mod m 的阶，写作$h=or{d}_m(a)$
定理：

• 其余满足该式的幂次都是h的倍数
• $a^{k}modm$的阶是$\frac{h}{gcd(k,h)}$
• a mod m的阶是h，b mod m的阶是k,hk互素，则ab mod m的阶是hk

原根

定义：a mod m的阶是$\varphi (m)$，则a是原根
定理：
p，q是素数，$q^e|p-1$，则存在元素mod p的阶是$q^e$

原根数量

mod m的原根数量是$\varphi (\varphi (m))$

原根存在判定

当且仅当$m=1,2,4,p^e,2p^e$时，m存在原根

平方剩余

定义：p是奇素数，$a\ne 0modp$,当$a=b^{2}modp$时，a是平方剩余，否则是平方非剩余
遇到一元二次方程，先化为上述标准形式
定理:

• $a\ne 0modp,a^{\frac{p-1}{2}}=1modp\Rightarrow$a是平方剩余
• 剩余集的一半数字是平方剩余，一半是非平方剩余

勒让德符号

写作$(\frac{a}{p})$，=1表示a是mod p的平方剩余，=-1表示a是mod p的平方非剩余，=0表示a|p
定理：

• $(\frac{a}{p})(\frac{b}{p})=(\frac{ab}{p})$

高斯引理

• p是奇素数，a!=0，令$x_p$为x mod p的平方剩余集中绝对值最小的数
  n是
  $$(a{)}_p,(2a{)}_p,(3a{)}_p,...,(\frac{p-1}{2}a{)}_p$$
  中负数的个数，则 $(\frac{a}{p})=(-1{)}^n$
• p是奇素数，gcd(a,p)=1，a是奇数
  $(\frac{a}{p})=(-1{)}^t$,其中$$t=\sum _{j=1}^{\frac{p-1}{2}}\lfloor \frac{ja}{p}\rfloor$$
• $(\frac{a}{p})=(-1{)}^{\frac{p^2-1}{8}}$

二次互反律 Quadratic Reciprocity Law

p,q都是奇素数时，

雅可比符号

Tonelli-Shanks算法（不考）

分圆多项式 Cyclotomic Polynomials

定义：对正整数n来说，能整除$x^n-1$但不能整除$x^k-1(k<n)$的多项式是分圆多项式，用${\varphi }_n(x)$表示。
${\varphi }_n(x)={\prod }_{1\le k\le n,gcd(k,n)=1}x-e^{2i\pi \frac{k}{n}}$

定理

• $x^n-1={\prod }_{d|n}{\varphi }_d(x)$
• ${\varphi }_n(x)$的最高次$n=\varphi (x)$
• 分圆多项式系数均为整数
• n>=2时，分圆多项式对称
• （不考）
• （不考）n是正整数，有无限个素数=1 mod n

算数函数 arithmetic function N->C

性质：

• 加性 f(mn)=f(m)+f(n)
• 乘性 f(mn)=f(m)f(n)
  • 不完全 mn互质
  • 完全 mn不互质

例子：

• $v_{p_i}(n)$是整除n的素数pi的最高次
• $\omega (n)$是n能分解出的素数的种类数
• $\Omega (n)$是n分解出的素数的幂次之和
• ${\sigma }_k(n)$是n的正因数的k次方之和，k是复数
  • k=0时，得到的是n的因子个数，记作d(n)
  • k=1时，得到n的因数之和，记作$\sigma (n)$
• 莫比乌斯函数
  $$\mu (n)=\{\begin{array}{l}(-1{)}^{\omega (n)}=(-1{)}^{\Omega (n)},if\omega (n)=\Omega (n)\\ 0,if\omega (n)\ne \Omega (n)\end{array}$$
• $$f(n)=\{\begin{array}{l}1,ifn=1\\ 0,ifotherwise\end{array}$$
• $\pi (n)$是不超过n的素数个数
• 完美数是$\sigma (n)=2n$的数，即因子之和=自身两倍的数，有6，28，496……

卷积（不考）

连分式 continued fraction

$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{...+\frac{1}{a_n}}}}$
简记作$[a_0,a_1,...,a_n]$
分数->连分式 使用辗转相除法
例子：

• 黄金分割率$\varphi :[1,1,1,...]$
• $\sqrt{2}:[1,2,2,2,...]$
• $\pi =[3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...]$
• $e=[2,1,2,1,1,4,1,1,\mathrm{6...}]$
• 丢番图方程？

规律：

定理：

• $[a_0,a_1,...,a_n]=\frac{p_k}{q_k}$
• $p_{k-1}{q}_k-q_{k-1}{p}_k=(-1{)}^k$

基本计数原理

加法原理

乘法原理

数学归纳法

马悖论

鸽巢原理

这个很好，很巧妙，很需要脑洞

容斥原理

乱序问题Derangement
答案是$d_n=n!{\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$

生成函数

可以利用生成函数通过递推关系求出通项

普通生成函数

$G(a_n,x)={\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$

斐波那契数列

通项公式：

定理：

$F_1+F_2+...+F_n=F_{n+2}-1$

• $F_1+F_3+...+F_{2n-1}=F_{2n}$
• $F_2+F_4+...+F_{2n}=F_{2n+1}-1$
• $F_1-F_2+...+(-1{)}^{n+1}{F}_n=(-1{)}^{n+1}{F}_{n-1}+1$
• $F_1^2+F_2^2+...+F_n^2=F_n{F}_{n+1}$

指数生成函数（不考）

排列与组合

排列permutation

0！=1

• 可重集合multiset：$\frac{n!}{a_1!a_2!...a_k!}$
• 字符串全排列种类数 $n^k$
• n元素集合的子集数 $2^n$
• 定义$P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$

组合 Combination

$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\frac{n!}{(n-k)!k!}$
定理：

• $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n-k\end{array}\right)$
  $\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)$
• n中取k个元素的多重集合$\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k\end{array}\right)$

二项式系数

$(x+y{)}^n={\sum }_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)x^{n-k}{y}^k$
定理：

• ${\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=0$
• ${\sum }_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=2^n$
• 递推公式（杨辉三角）$\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)$
• ${\sum }_{m=k}^n\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+1\\ k+1\end{array}\right)$
• ${\sum }_{k=0}^{n}k\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)=n{2}^{n-1}$
• ${\sum }_{j=0}^k\left(\begin{array}{c}m\\ j\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-m\\ k-j\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)$
• $\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\ge \left(\begin{array}{c}n\\ k+1\end{array}\right)$
  当且仅当n=2k+1，等号成立

多项式系数

借助$\left(\begin{array}{c}n\\ a_1,...,a_k\end{array}\right)=\frac{n!}{a_1!a_2!...a_k!}$

组成 composition

分糖果 糖果相同，人不同

n糖分给k人

• 每人至少一块(strong)$\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)$
• 可以分零块(weak)$\left(\begin{array}{c}n+k-1\\ k-1\end{array}\right)$

正整数n有$2^{n-1}$个不同划分

集合划分 糖果不同，筐子相同

斯特林第二类数S(n,k)

递推公式 S(n,k)=S(n-1,k-1)+kS(n-1,k)
类似杨辉三角但有个系数k

贝尔数

$B_n$是所有斯特林第二类数的加和
递推公式 $B_{n+1}={\sum }_{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)B_i$

整数划分 糖果相同，筐子相同

p(n)
Ferrers diagram
定理：

• n最多分k块的种类数=n分块中的最大数字不超过k
• n分奇数块的种类数=n的自共轭划分数
• 整数划分比集合划分种类少

卡特兰数

例子：

• 平衡括号
• 不超过对角线走格子
• 三角化

递推公式：
$C_{n+1}={\sum }_{i=0}^n{C}_i{C}_{n-i},n\ge 0$
C0=1,C1=1
通项公式：$C_n=\frac{1}{n+1}\left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)$
数列：1，2，5，14，42，132……