大学物理(上)-期末知识点结合习题复习(3)——质点运动学-惯性系 非惯性系 惯性力 动量定理 动量守恒定律

目录

1.惯性系

2.非惯性系

3.惯性力 

题1

题目描述

题解

4.动量定理

题2

题目描述

题解

5.动量守恒定律

题3

题目描述

题解


1.惯性系

牛顿定律适用的参考系,总能在找到特殊的参照物群(参考系),使得牛顿第一定律成立,那么这个参考系成为惯性系。

2.非惯性系

牛顿定律不适用的参考系。

“受力” “自转” “加速”——非惯性系

下图就是就是一个典型的需要用到非惯性参考系的场景。

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3.惯性力 

在非惯性系中,牛顿运动定律是不适用的。但是,也可以假象在非惯性系中,除了相互作用所引起的力以外,还受到一种由于非惯性系而引起的力——惯性力

上图小车内部的小球就受到一个不存在的力——惯性力,才能拥有速度v'和加速度a'。

题1

题目描述

一升降机以加速度1.22m\cdot s^{-2}上升,当上升速度为2.44m\cdot s^{-1}时,有一螺丝自升降机的天花板上松脱,天花板与升降机的底面相距2.74m.计算:(1)螺丝从天花板落到底面所需要的时间;(2)螺丝相对升降机外固定柱子的下降距离. 

题解

第一问,求螺丝从天花板落到底面所需要的时间,这道题用非惯性参考系解决。先举一个例子来带入场景:人坐向上升的电梯时,会有身体沉重的感觉,即超重;这是因为此时人的加速度超过了正常的重力加速度,而人此时的加速度应该是等于重力加速度+电梯向上升的加速度。

这道题也是同理的,螺丝拥有的加速度也是等于重力加速度+升降机的加速度,所以很容易就可以求得时间了。

a'=a+g=1.22+9.8=11.02\: \: m/s^2

h=\frac{1}{2}a't'^2

t'=\sqrt{\frac{2h}{a'}}=\sqrt{\frac{2\times2.74}{11.02}}\approx 0.705\: \: (s)

第二问,求螺丝相对于升降机外固定柱子的下降距离,原本来说,是会有三种情况的:

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第一种情况是螺丝还没上升到最高点就被升降机拦截住了;第二种情况是螺丝已经上升到最高点,开始下落了被升降机拦截; 而第三种情况就是螺丝相对于一开始位置下降了之后被拦截了。

正常情况下,我们需要通过计算判断到底是哪种情况,但这道题目告诉我们了,是下降距离,所以我们就可以确定它是第三种情况了,根据第三种情况的情形进行列式。

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4.动量定理

动量定理:在给定的时间间隔内,外力作用在质点上的冲量等于质点在此时间内动量的增量

动量:\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}

冲量:I=\int_{t1}^{t2}\overrightarrow{F}dt

动量定理的微分形式:\overrightarrow{F}dt=d\overrightarrow{p}=d(m\overrightarrow{v}) 

动量定理的积分形式:I=\int_{t1}^{t2}\overrightarrow{F}dt=m\overrightarrow{v_2}-m\overrightarrow{v_1}

分量表示:

\left\{\begin{matrix} I_x=\int_{t1}^{t2}F_xdt=mv_{2x}-mv_{1x}\\ I_y=\int_{t1}^{t2}F_ydt=mv_{2y}-mv_{1y}\\ I_z=\int_{t1}^{t2}F_zdt=mv_{2z}-mv_{1z} \end{matrix}\right.

题2

题目描述

一柔软链条长为l,单位长度的质量为\lambda,链条放在有一小孔的桌上,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围。由于某种扰动,链条因自身重量开始下落。求:链条下落速度v与y之间的关系。设各处摩擦处均不计,且认为链条软得可以自由伸开。

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题解

以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建立坐标系,则F^{ex}=m_1g=\lambda yg

由质点系动量定理得:F^{ex}dt=dp

故而有,dp=d(mv)=d(\lambda yv)=\lambda d(yv)

所以,\lambda ygdt=\lambda d(yv)

化简,整理得:yg=\frac{d(yv)}{dt}

两边同时乘以ydy,使之变成可积分的式子:y^2gdy=ydy\frac{d(yv)}{dt}=yvd(yv)

两边积分,得:g\int_{0}^{y}y^2dy=\int_{0}^{yv}yvd(yv)

解得:\frac{1}{3}gy^3=\frac{1}{2}(yv)^2

即,v=(\frac{2}{3}gy)^{\frac{1}{2}}

5.动量守恒定律

动量守恒定律:若质点系所受的合外力为0,则系统的总动量不变。

  • 系统的总动量不变,但系统内任一物体的动量是可以变的。
  • 守恒条件:合外力为0.

注意:当F^{ex}\ll F^{in}时,即外力远远小于内力的作用时,可近似地认为系统总动量守恒。

题3

题目描述

静止的湖面上有一条小船,长度为l,质量为M。船的一端站有一渔人,质量为m。渔人和小船原来都静止不动。现设该渔人从船的一端走到另一端,问渔人和小船各移动了多少距离?水对船的摩擦可以忽略不计。

题解

由于水对船的摩擦可以忽略不计,所以人和小船这一系统沿水平方向上的合外力等于零,那么就可以应用动量守恒定律,得:

m\overrightarrow{v}+M\overrightarrow{V}=0,\overrightarrow{v}表示人相对于地面的速度,\overrightarrow{V}表示船相对于地面的速度。

由上式可以得到:V=-\frac{m}{M}\overrightarrow{v}

表示小船与人反向运动。

人相对于小船的速度为:\overrightarrow{v'}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{V}=\frac{M+m}{M}\overrightarrow{v}

设人时间t内小船上走完船长l,则有

l=\int_{0}^{t}v'dt=\int_{0}^{t}\frac{M+m}{M}vdt=\frac{M+m}{M}\int_{0}^{t}vdt

这段时间内,人相对于地面走了:

x=\int_{0}^{t}vdt

结合两个积分式可以得到:

x=\frac{Ml}{M+m}

最终,小船移动的距离为:

X=l-x=\frac{ml}{M+m},方向与人移动的方向相反。

如下图所示:

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end 


 

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