计算机图形学-GAMES101-3

一、transformation-变换

（1）Scale

• 缩放变换示意图
  

• 图形每个像素对应坐标的计算公式
  

• 写成缩放矩阵的形式
  

• 非均匀缩放
  

（2）Reflection Matrix

• 镜面变换示意图
  

• 图形每个像素对应坐标的计算公式
  

• 写成镜像矩阵的形式
  

（3）Shear Matrix

• 切变变换示意图
  

• 写成切片矩阵的形式
  

（4）Rotate

• 旋转变换示意图
  

• 旋转默认以原点为旋转中心，旋转方式为逆时针旋转。

• 旋转矩阵
  

（5）总结

• 我们要做变换，就要找到变换前坐标和变换后坐标之间的一种关系，根据这种关系将原坐标变换为新坐标，并将坐标和变换写成矩阵形式。
  

二、齐次坐标

（1）平移

• 平移变换示意图
  

• 图形每个像素对应坐标的计算公式
  

• 由于是相加，所以我们只能写成这种形式：
  

• 可以发现平移变换不是线性变换，无法表述为之前变换的形式，即坐标矩阵乘以一个矩阵的形式。有没有一个办法可以统一的表示所有的变换方式呢？

（2）No free lunch

• 没有付出就没有收获，诸如动态规划是一种用空间换时间的求解算法，想要更好的表达方式，就需要牺牲一些东西。使用齐次坐标即可统一表述方式。

• 使用齐次坐标实现平移变换。

（3）齐次坐标的介绍

• 点和向量齐次坐标的表示，向量w=0代表了向量的平移不变性。
  

• 也表述了向量+向量=向量、点-点=向量 等运算规则。
  

• 扩展齐次坐标下点w分量的含义
  

三、齐次坐标的变换

（1）变换

• Affine Transformations

• 任何一个 Affine Transformations都可以写为变换矩阵形式。
  

• 变换对应的矩阵
  

（2）逆变换

• 逆变换对应原变换矩阵的逆矩阵(AM=B,AM-M=B-M,A=B-M)。
  

（3）变换顺序的讨论

• 变换的顺序：缩放->旋转->平移。因为定义旋转是围绕原点，所有必须保证旋转时未经过平移，因此旋转在平移之前。因为定义缩放一般是我们针对原图形进行的横纵向缩放，即缩放时我们认为图形的横向为x轴纵向为y轴，而旋转会导致图形横向和纵向偏移，所以缩放需要在旋转之前进行。

• 所有任何复杂的变换都可以通过这些基本变换得到，即定义在一个变换矩阵中。如果当对图形进行过旋转和平移了，还想对其进行缩放，可以先将图形逆变换到缩放阶段，然后执行缩放变换，再执行原本的旋转和平移变换即可。

• 注意矩阵乘法类似于函数映射y=F(x)，所以变换矩阵M和位置矩阵x的乘法为Mx，为左乘。对坐标的变换如下图，会从右到左依次应用各个变换矩阵。
  

• 矩阵从右到左逐个应用。也可也认为是，从An×A(n-1)×…×A1=M，即计算出变换矩阵M应用到坐标上。
  

• 如果有一个变换，它要求基于原点以外一个点旋转，或者是要求基于x轴和y轴以外的轴进行缩放，那该怎么办？对于绕原点以外的点旋转，我们只需要平移物体，使得旋转点平移到原点(保证了旋转点和物体的相对位置不变)，再开始绕着原点旋转，这样就得到了应该旋转得到的效果，只不过我们还要将物体平移回去而已。而对于缩放也是一样，我们将旋转轴旋转到x轴上，进行x轴上的缩放，然后再旋转回原本的缩放方向即可。注意变换矩阵是从右到左的变换顺序。
  

• 存在变换顺序是因为变换的规则是固定的，而针对上述本身就打破了变换规则的变换，需要打破变换顺序才可以得到实现。但是无论在任何时候，我们想要旋转物体，只需要保证旋转中心在原点，我们需要缩放物体，只需要保证缩放轴在x或y轴上。这样我们可以先通过简单的变换使得旋转中心在原点或者缩放轴在x轴上，我们即可实施不规则的旋转或缩放。任何变换都是有对应的关系的，如果你能设计出一种变换关系，那你也可以不基于这些基本的变换，比如之间绕某个点旋转。

四、三维变换

（1）三维的齐次坐标

• 添加z坐标即可。

• w不等于0，则点的坐标为：
  

• 三维变换矩阵，其中3X3为线性变换，旁边一列为平移变换

• 变换的顺序，上图矩阵等价下图计算过程，因此变换顺序也是先线性变换后平移。