计算机图形学-GAMES101-4

一、变换矩阵中的旋转部分

  • 当我们旋转Q角度和旋转-Q角度时,变换矩阵中旋转的部分如下图所示:
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  • 旋转Q和旋转-Q的变换矩阵应该互为逆矩阵,而我们可以看到它们互为对方矩阵的转置。其实Rq是一个正交矩阵,因此其逆矩阵就是它自己的转置。当我们旋转图形一个角度为Q时,如果我们想旋转为-Q,可以直接将其变换矩阵中旋转的部分做转置。

  • 3D空间中的变换:
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  • 3D空间中绕不同轴旋转的变换矩阵(y的sin是反的是因为z叉乘x才能得到y,而不是x叉乘z):
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二、3D空间中的旋转

  • 欧拉角:
    在这里插入图片描述计算机图形学-GAMES101-4_第4张图片

  • 在3D空间中绕任意一条过原点的轴n旋转:
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  • 如果轴不过原点,那么我们就将它平移到原点上,再进行旋转,然后旋转完再平移回去。

  • A旋转对应的旋转矩阵为MA,B旋转对应的旋转矩阵为MB,(MA+BM)/ 2 旋转矩阵对应的旋转可不是 (A+B) / 2,因此欧拉角使用欧拉角有很多不方便的地方,诸如不能还原角度、万向节死锁。建议使用四元数表示旋转。

三、Veiwing transformation

 我们变换的最终目的是把三维空间中的物体,变成一张二维的照片。我们需要做的变换为如下MVP变换:

  • 模型变换:把物体摆好,把场景搭建好。
  • 视图变换:把相机摆好,把相机的位置和方向确定下来。
  • 投影变换:根据场景和相机,把三维空间投影到二维中。

(1)View / Camera transformation

 相机具有的属性有:

  • 位置POS、方向FRONT、向上方向UP(相机转动角度垂直于向上方向)。

 以上就是观测矩阵需要的定义。

  • 当相机和场景中的物体相对位置保持不变时,拍出来的照片内容相同。因此为什么我们不讲相机永远固定在一个位置呢?

  • 我们定义相机永远位于原点、朝向负Z方向、向上方向为Y轴。

  • 进行视图变换(将相机平移到原点,朝向-Z轴,向上为Y轴):
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  • 平移矩阵很简单:
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  • 怎么旋转呢?将摄像机的朝向g转向-Z,将摄像机的向上方向t转向Y,而g×t自然朝向X。可是g转向-Z不好写,有什么简单的呢?我们可以简单的写出X转向g×t 和 Y转向t,这样Z自然就转向-g了,这个矩阵为:
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  • 上图中矩阵乘以(1,0,0,0)即X轴会得到(Xgt,Ygt,Zgt)即g×t的方向,乘以(0,1,0,0)即Y轴会得到(Xt,Yt,Zt)即相机向上方向t,乘以(0,0,1,0)即Z轴会得到(X-g,Y-g,Z-g)则把Z轴转向摄像机方向的反向。因此上图矩阵可以把XYZ轴分别旋转到g×t、t、-g方向。

  • 现在我们需要的是把g×t、t、g方向分别旋转到XY -Z轴,那该怎么办呢?我们又知道变换矩阵中旋转部分是一个正交矩阵,只要转置就能得到逆矩阵,就能得到 “把XYZ轴分别旋转到g×t、t、-g方向” 的逆操作 “g×t、t、g方向分别旋转到XY -Z轴”。因此我们使用逆矩阵即可。
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  • 我们将物体和相机一起应用观察矩阵即可保证它们的相对位置不变,同时还把相机移到了一个规范通用简单的位置。

  • 模型矩阵:怎样拜访物体。视图矩阵:怎样把物体和相机摆放到标准位置。模型矩阵和视图矩阵都会应用到物体上。

(2)Projection transformation

 当我们把相机和场景都移动到标准位置,即相机位于原点朝向-Z轴时,我们如何得到相机看到的画面呢?想象现在有一个相机,我们知道它的位置(一个点)、朝向(一个向量),我们总不能只描绘出一个点吧?类比我们人类的眼睛,其实可以看到一定角度中的内容,而透视投影定义的就是如何将三维空间投影到一个二维平面上。
 透视投影会看到平行的线不再平行,比如你的眼睛。正交投影不会带来"近大远小"的效果。两种投影的示意图如下:
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 从z方向看的好处是我们可以扔掉物体的z坐标(区分前后内容后面再讨论),只保留x和y。然后不管相机拍摄覆盖区域有多大,我们都把它们的x、y值移动到【-1,1】的区间中。

(2.1)Orthographic projection

 正交投影需要投影一个立方体区域,它假设摄像机距离场景无限远,因此摄像机镜头的边界是两束平行光。定义正交投影,就是定义这样一个立方体是什么样的,我们规定这个立方体有如下参数:
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 要注意Z轴朝向的是屏幕以外,即Z值越小其位置离我们越远。不管立方体是怎么样的,我们只需要把它移动到原点然后再缩放到【-1,1】中。
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 上述变换对应的变换矩阵如下:
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 当我们把原本的一个立方体缩放到【-1,1】,会导致物体的拉伸,但是在所有的变换都做完,所有的物体都处在【-1,1】立方体内时,还会做一次拉伸叫做视口变换。(缩放是xyz都要缩放)
 正交投影的立方体块是我们自己定义的,想要投影哪一块就定义哪一块,设置对应的立方体块参数。

(2.2)Perspective projection

 使用最多的投影方式;近大远小;投影后平行线不再平行,如下图所示:
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  • 透视投影会将平面投影到另一个平面上,导致平行线不再平行。
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  • 透视投影和正交投影的示意图
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  • 透视投影:先将Frustum四面体挤成一个Cuboid立方体,再进行正交投影。Frustum近平面永远不变,远平面的z值不变,Frustum中心点不变。我们现在要做的是求变换矩阵,从透视到正交的变换矩阵。
    在这里插入图片描述

  • 原本的Z值不管,对于Y,从侧面分析得到以下式子:
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  • 对X同理应用相似三角形,得到:
    在这里插入图片描述

  • 设变换矩阵为:
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    在这里插入图片描述

  • 根据近平面和远平面中心点不变推导得到参数为:

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