Python篇——数据结构与算法（第二部分）

目录

二、排序算法（承接第一部分）

  1、堆排序算法——树的基础知识补充

   2、树的基本概念

   3、二叉树基础知识

（1）满二叉树

（2）完全二叉树

（3）二叉树的存储方式（表示方式）

 4、堆排序（大根堆、小根堆）

（1）堆排序过程

（2）构造堆

（3）挨个出数

5、堆排序——内置模块

6、堆排序应用——topk问题

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二、排序算法（承接第一部分）

  1、堆排序算法——树的基础知识补充

• 树是一种数据结构    比如：目录结构
• 树是一种可以递归定义的数据结构
• 树是由n个节点组成的集合
  • 如果n=0，那这是一颗空树
  • 如果n>0，那存在一个节点作为树的根节点，其他节点可以分为m个集合，每隔几何本身又是一棵树

   2、树的基本概念

• 根节点、叶子结点（例如：B、C、H、P、Q等 不能分叉的节点）
• 树的深度（高度）：最深有几层，图中为4
• 树的度（整个树，最大节点的度）、节点的度（F的度为3，分了3个叉）
• 孩子节点（子节点）、父节点（E为I的父节点、I为E的孩子节点）
• 子树

   3、二叉树基础知识

• 度不超过2的树
• 每个节点最多有两个孩子节点
• 两个孩子节点被区分为左孩子节点和右孩子节点

（1）满二叉树

• 一个二叉树，如果每一个层的节点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树

（2）完全二叉树

•  叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树

 （3）二叉树的存储方式（表示方式）

• 链式存储
• 顺序存储（堆排序）

 从图中我们需要找到两个问题：

• 父节点和左孩子节点的编号下标有什么关系？
  • 0-1 1-3 2-5 3-7 4-9
  • i - 2i+1
• 父节点和右孩子节点的编号下标有什么关系？
  • 0-2 1-4 2-6 3-8 4-10
  • i - 2i+2

 4、堆排序（大根堆、小根堆）

• 堆：一种特殊的完全二叉树结构
• 大根堆：一颗完全二叉树，满足任一节点都比其他孩子节点大
• 小根堆：一颗完全二叉树，满足任一节点都比其他孩子节点小
• 复杂度O（nlogn）

 

 

 （1）堆排序过程

1. 建立堆（构造堆）
2. 得到堆顶元素，为最大元素
3. 去掉堆顶，将堆最后一个元素放到堆顶，此时可通过一次调整（向下调整）使堆有序
4. 堆顶元素为第二大元素
5. 重复步骤3，直到堆变空

Note：

如果不是取最后一个元素到堆顶，再进行向下调整，将会导致不是完全二叉树

（2）构造堆

 先对最后一个非叶子节点进行调整

 然后依次继续往上进行调整

（3）挨个出数

当堆构造好之后，在进行挨个出数

import random
import numpy as np


def sift(li, low, high):
    '''
    :param li: 列表
    :param low: 堆的第一个元素 （根）
    :param high: 堆的最后一个元素
    '''
    i = low  # 此时i指向第一层
    j = 2 * i + 1  # 左孩子
    temp = li[low]  # 暂存堆顶元素
    while j <= high:  # 只要j没有超过high
        # 有右孩子且与左孩子对比 （j + 1 <= high ）表示右孩子没有越界
        if j + 1 <= high and li[j + 1] > li[j]:
            j = j + 1  # j指向右孩子
        if temp < li[j]:
            li[i] = li[j]
            i = j  # 往下走一层
            j = 2 * i + 1
        else:  # temp更大
            li[i] = temp  # 把temp放到某一层根部
            break
    else:
        li[i] = temp  # temp不在根节点,跳出循环后,temp放到叶子结点处


def head_sort(li):
    # 首先建堆
    n = len(li)
    # 寻找父亲节点 i-1//2  i=n-1
    for i in range((n - 2) // 2, -1, -1):
        # i 表示建堆的时候调整的部分根的下标
        sift(li, i, n - 1)
    # 建堆完成
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        # i指向当前堆的最后一个元素
        li[0], li[i] = li[i], li[0]  # 堆顶元素和最后一个元素调整
        sift(li, 0, i - 1)  # 调整 （此时最后一个元素是i-1）


li = [i for i in range(100)]
random.shuffle(li)
print(li)
head_sort(li)
print(li)

5、堆排序——内置模块

• Python内置模块——heapq（q：queue 优先队列）
• 常用函数
  • heapify（x）（建堆——小根堆）
  • heappush（heap，item）（往里面加元素）
  • heappop（heap）往外弹出一个元素（最小的元素）

import heapq
import random

li = [i for i in range(100)]
random.shuffle(li)

print(li)
heapq.heapify(li)
print(li)

for i in range(100):
    print(heapq.heappop(li), end=',')

6、堆排序应用——topk问题

• 现在有n个数，设计算法得到前k大的数。（k
• 解决思路：
  • 排序后切片 O（nlogn）
  • 冒泡、插入、选择排序O（kn）
  • 堆排序 O（nlogk）
• 取列表前k个元素建立一个小根堆。堆顶就是目前第k大的数
• 依次向后遍历原列表，对于列表中的元素，如果小于堆顶，则忽略该元素；如果大于堆顶，则将堆顶更换为该元素，并且对堆进行一次调整。
• 遍历列表所有元素后，倒序弹出堆顶

例如：我们想到找到前5大的数字，我们先取前五个数字建立一个小根堆

 

 发现0不能放进去，只剩下7、2、4、5

 7比1大，所以把1换掉，在进行小根堆调整

 

 以此类推，最后

 

import random


def sift(li, low, high):
    '''
    :param li: 列表
    :param low: 堆的第一个元素 （根）
    :param high: 堆的最后一个元素
    '''
    i = low  # i,j指向层
    j = 2 * i + 1  # 左孩子
    temp = li[low]  # 暂存堆顶元素
    while j <= high:  # 只要j没有超过high
        # 有右孩子且与左孩子对比 （j + 1 <= high ）表示右孩子没有越界
        if j + 1 <= high and li[j + 1] < li[j]:
            j = j + 1  # j指向右孩子
        if temp > li[j]:
            li[i] = li[j]
            i = j
            j = 2 * i + 1
        else:
            li[i] = temp  # 把temp放到某一层根部
            break
    else:
        li[i] = temp  # temp不在根节点,跳出循环后,temp放到叶子结点处


def topK(li, k):
    '''前k个元素'''
    heap = li[0:k]
    for i in range(k - 2 // 2, -1, -1):
        sift(heap, i, k - 1)
    # 1.建堆
    for i in range(k, len(li) - 1):
        if li[i] > heap[0]:
            heap[0] = li[i]
            sift(heap, 0, k - 1)
    # 2.遍历
    for i in range(k - 1, -1, -1):
        heap[0], heap[i] = heap[i], heap[0]
        sift(heap, 0, i - 1)
    # 3.返回前k个
    return heap


if __name__ == '__main__':
    li = [i for i in range(100)]
    print(li)
    random.shuffle(li)
    print(li)
    print(topK(li, 10))