分数域信号处理
目录
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换的定义
分数傅里叶变换的性质
一维 二维分数傅里叶变换
分数卷积
分数功率谱
Chirp平稳信号
分数域滤波原理
分数域采样与重建
分数域均匀采样定理
分数域带通采样定理
周期非均匀采样定理
分数域检测与估计
分数域变换与离散
离散分数傅里叶变换
广义 Hilbert 变换
稀疏分数傅里叶变换
分数傅里叶变换
分数傅里叶变换的定义
通常情况下，傅里叶正反变换被定义为：
为什么系数不是2pi分之一？
定义的方式不同，定义成根号可以保持正反变换对称。
写成算子形式：
傅里叶变换的特征函数为: 
我是这样认为的：α=Πp/2,二分之Π可以认为是原来的整数傅里叶变换，而p可以认为是一个分数因子，将傅里叶变换转换到分数域
根据Hermit多项式和Melher的一系列数学性质，在经过一系列的化简。。。可以得到分数傅立变换的积分核表达形式，也是我们常见的形式
FRFT的积分核表示：
当α≠pi/2时，分数傅立叶变换表达式为：
当α=pi/2时，cot α = 0，sin α =1，分数傅里叶变换退化到传统的傅里叶变换：
分数傅里叶变换的性质
1.时频统一性
α 类似于一条过零点的直线的角度，直线随着 α 的变化而旋转，可以与频率轴重合，也可以无限接近时间轴，即分数傅里叶变换具有时频统一性。
2.可加性
对原函数进行一次 β 的分数傅立叶变换后，再对其进行一次 α 的分数傅立叶变换，相当于将原函数变换到了 μ=α+β 角度的分数域。
一维 二维分数傅里叶变换
傅里叶变换的局限性：
通俗来讲，就是傅里叶变换使用一种全局变换，而无法表述信号的时频局域性质。
一维分数傅里叶变换
傅里叶变换的基函数是基于时间轴上无限伸展的正弦波，单频率的正弦波对应频域的一根谱线，不同频率的正弦函数集，构成了傅里叶变换的基函数。
而分数傅里叶变换的基函数是线性调频信号。
单频率，单阶次的线性调频信号就对应于时频面上该阶次的一根分数谱线
不同频率单阶次的线性调频函数集，就构成了该阶次下分数傅里叶变换的基函数。因此，随着阶次的变化，分数傅里叶就能够提供介于时域和频域之间任意分数域表征
二维分数傅里叶变换
将一维分数傅里叶变换核进行拓展，就可以得到二维分数傅里叶变换核的定义：
其中
、
表示通过二维分数傅里叶变换后的旋转角度。
分数卷积
卷积：输入信号x(t)经过冲激响应为h(t)的线性时不变系统，其输出为:
做卷积的两个信号互为冲激响应（互为滤波器），因此卷积具有可交换性。
卷积定理：
借住快速傅里叶算法FFT可以实现卷积的快速计算：
第一种分数卷积：
分数卷积不是分数域做卷积，而是分数域两个信号乘积运算，在时域的表达式
的具体计算形式为：
当α=pi/2时，分数卷积退化为经典卷积：
上述的分数卷积通过5个FFT运算可以实现：
第二种分数卷积：
因为对 h(t) 的运算比较复杂，为了简化运算，将 看作是时域的输入
分数卷积通过3个FFT运算可以实现：
第二种卷积积分的等价形式：
时域的乘积对应分数域的分数卷积，分数域乘积对应时域的分数卷积
第三种分数卷积：
利用3次FFT运算：
分数功率谱
随机信号的观测样本能量是无限的，但其功率往往是有限的。
其功率为：
平稳随机信号的相关函数为：
平稳随机信号的功率谱为：
功率谱与相关函数的关系：
维纳-辛钦定理：
分数功率谱的导出：
分数功率谱与分数相关函数之间的关系：
第二种分数相关：
当α=pi/2时，退化为功率谱。
互相关函数用于衡量两个不同随机信号之间的相关性。
分数（互）相关函数和分数（互）功率谱相关函数中的极限运算不容易实现
如何避免极限运算？
Chirp平稳信号
Chirp平稳信号是一种非平稳随机信号，表现为chirp信号与平稳信号的乘积。即
其中是Chirp信号，也称为线性调频信号，为平稳信号
相关函数
Chirp平稳信号的非平稳性是由Chirp调制项引起的。当μ=0时，Chirp平稳信号退化为平稳信号。
分数域滤波原理
分数域线性时不变系统输入输出的分数相关、分数功率谱之间关系的证明思路：
Chirp平稳信号的分数相关函数是时不变的
分数域线性时不变系统输入输出的相关函数之间关系：
分数域线性时不变系统输入输出分数相关函数的关系：
分数域线性时不变系统输入输出的分数功率谱之间的三种乘性关系：
分数域采样与重建
分数域均匀采样定理
奈奎斯特采样定理
采样（抽样）是指从模拟信号 x(t) 中“抽取”一系列离散样本值 的过程。
通过卷积定理：
奈奎斯特抽样（采样）定理
奈奎斯特抽样频谱：
奈奎斯特抽样间隔:
信号重建
均匀采样定理
- 设x(t)时一个带限信号，在 时，.
- 如果 ,其中 ,那么x(t)就唯一的由样本x(nT),n=0,+-1,+-2...确定
- 当这样的采样信号通过一个增益为,截止频率大于 ,而小于的理想低通滤波器后，可以将原信号完全重建。
分数域均匀采样定理
现代数字信号处理中，如在高速目标的探测中，信号呈现出时变，非平稳等复杂的特性，对于宽带非平稳信号，为满足奈奎斯特抽样定理的要求，需要以非常高的采样率进行采样，当采样率达不到要求时，将造成频谱混叠，从而无法重建原信号。
因此，在分数域寻找一种新的采样定理
保证采样信号分数谱不混叠的采样频率为
分数采样定理与奈奎斯特采样定理的关系
分数域信号重建
通过展开公式，化简，可得重建信号：
分数域带通采样定理
傅里叶域带通采样
- 当 时，按低通采样处理，即
- 带通信号的最小采样频率的取值范围是 2B ~ 4B
- 当
很大时，
采样率取决于信道带宽！
信号重构频谱：
利用时域卷积定理可以求得，重构信号为：
分数域带通采样定理
当 时，按低通采样处理，即
信号重建分数谱：
根据卷积定理可得重构信号为：
周期非均匀采样定理
周期非均匀采样主要发生在多路并行采样中。
在理想情况下，让每一个AD延长特定的时间，可以将M个采样间隔为MT_s的通道所得的采样信号合成一个采样间隔为T_s的均匀采样信号，实现M倍采样率的提升。
实际情况下，因为每个A/D的延时无法精确控制，都可能会出现一定的偏差，从而使得最终得到一个非均匀采样信号。
它的采样时刻具有周期性，因为每个A/D都是以T_s为间隔进行均匀采样，因此叫做周期非均匀采样信号，其平均采样时间为T_s。
依次从第1个通道，第2个通道...到第M个通道取出其第一个采样点，构成非均匀采样信号的M个采样点，然后再依次从第1个通道，第2个通道...到第M个通道取出其第二个采样点，构成非均匀采样信号的M+1至2M个采样点......以此类推，得到周期性非均匀采样序列。
周期非均匀采样信号的频谱
分数域检测与估计
多分量chirp信号检测与参数估计方法
单分量信号
- 搜索的峰值位置包含了chirp信号的调频率，频率信息
- 搜索的峰值复幅度包含了初相，幅值信息
- 因此可通过二维搜索的峰值信息，可以得到chirp信号四参数的估值
多分量信号
- 搜索的峰值位置对应chirp信号分量的调频率，频率信息
- 搜索的峰值复幅度包含了初相，幅值信息
- 因此可通过二维搜索的峰值信息，可以得到各chirp信号的分量四参数的估值
在一般情况下，信号时长有限，相位很难达到一致，非同相位累加量不为0，所以每个chirp信号分量的二维搜索结果都含有一定宽度的副瓣；此外，当chirp信号强度相差较大时，强信号分量的副瓣可能覆盖弱信号分量的主峰，解决办法有如下：
含噪声单分量信号
- 搜索的峰值位置包含chirp信号的调频率，频率信息
- 搜索的峰值复幅度包含chirp信号的初相，幅值信息
- 因此噪声的影响，通过峰值信息得到的chirp信号四参数存在一定的误差，可以用随机信号分析方法加以消除
基于分数傅里叶变换的时延估计
时延信号的分数傅里叶变换
估计子
参考信号：
接收信号：
，W(t)为零均值高斯复噪声，且与信号s(t-τ)独立
对接收信号 r(t) 以旋转角度α进行分数傅里叶变换
分数傅里叶变换在某个分数傅里叶域中对给定的chirp信号具有最好的能量聚焦性，对于有限长chirp信号，在某一特定的分数傅里叶域上呈现出聚集特性，其幅度出现明显的峰值；根据统计特性可知，高斯白噪声的分数傅里叶谱也是复的高斯随机变量，其能量均匀分布在整个时频平面，在任何分数傅里叶域上都不会出现能量聚焦效果，有助于在含有噪声的接受信号中估计时延信息。
时延估计子：
分数域变换与离散
离散分数傅里叶变换
连续特征分解型分数傅里叶变换
连续特征分解型的分数傅立叶变换定义：
将信号 x ( t ) 在 Hermite-Gaussian 基函数上展开，令 ,可以得到分数傅里叶变换的核函数谱展开形式：
基于分数傅里叶变换的核函数谱展开公式，模拟连续情况下傅里叶变换与分数傅里叶变换的关系，定义了连续特征分解型的离散分数傅里叶变换。
a 阶大小为 N * N 的离散分数傅里叶变换的核函数定义为：
广义 Hilbert 变换
信号 的Hilbert变换的定义：
Hilbert变换函数 的幅度谱和相位谱：
传统的Hilbert变换只能近似应用于窄带信号，所以这里引入广义Hilbert变换来处理非窄带信号。
Hilbert 变换的另一个重要作用是构成实信号 x(t) 的解析信号，即把一个一维的信号变成二维复平面上的信号，解析信号的表达式如下：
其Fourier谱为
从上述的两个问题引入了广义的Hilbert变换。
基于分数Fourier变换的Hilbert变换
其中：
则解析信号变为：
广义 Hilbert 变换
式子中
稀疏分数傅里叶变换
稀疏傅里叶变换
适用条件：信号在时域或频域内稀疏 => 只需要估计大值点的幅值
思想：使用几次小点数的FFT代替大点数的傅里叶变换的计算，估计稀疏大值点的位置和幅度。是按照一定规则 Γ ( • )将信号频点投入到一组“筐”中(数量为 B，通过滤波器实现 ) 。因频域是稀疏的,各大值点将依很高的概率在各自的“筐”中孤立存在。将各“筐”中频点叠加,使 N 点长序列转换为 B点的短序列并作 FFT 运算,根据计算结果,忽略所有不含大值点的“筐”,最后根据对应分“筐”规则,设计重构算法 Γ -1 ( • )恢复出 N 点原始信号频谱。
算法的关键在于利用信号重排加入随机性确保可以成功映射回原谱。
稀疏分数傅里叶变换
- 对于原始输入信号通过chirp乘积构造一个稀疏傅里叶变换阶段的输入信号，以弥补载波中的chirp基的影响
- 借助稀疏傅里叶变换的思路，对时域信号进行重排以实现在各次随机循环中打乱频谱临近点之间的关联，分隔相邻的谱系数，并使得重排后所得随机算法循环输出，可以很方便的映射回待估计的频谱位置
- 为了平滑的提取部分信号，并尽量减少谱泄露，需要引入一个窗函数对重排后的时域信号进行加窗处理
- 分数据篮子。每个篮子里的采样点数叠加，并作小点数FFT或IFFT
- 使用哈希函数和偏移函数进行大值频谱点定位。定位循环中，认为各次重排后更大概率上位置保持不变的大值频谱点更有可能对应真实的频谱大值位置
- 对大值估计结果进行幅度转换，并分别对实部和虚部取中值
- 第2步到第6步会循环多次，以得到不同重排因子对应的结果并进行综合处理，最后一步得到的估计结果乘以另一个chirp函数完成信号由傅里叶域到分数傅里叶域的调制，得到稀疏分数傅里叶变换后的最终输出结果。
分数域时频分布
FRFT
- 分数傅里叶变换缺乏时间和分数阶频率的定位功能
- 分数傅里叶变换对于时变信号的局限性
- 分数傅里叶变换在时间和分数阶频率上的局限性
短时分数傅立叶变换
为了克服分数傅里叶变换的局限性，引入了短时分数傅里叶变换的定义
短时分数傅里叶变换的逆变换
- 短时分数傅里叶变换是将一维信号映射到二维时间-分数频率即 t-u 平面进行分析，它能够揭示出信号分数频率随时间变化的演变特征，因此能够有效克服分数傅立叶变换对于描述时变信号的局限性。
- 若短时分数傅里叶变换的核函数
在时域是有限支撑的，那么它与信号的内积将保证短时分数傅里叶变换的结果在时域上也是有限支撑的，从而实现所希望的时间定位功能。类似的，若窗函数
在分数域具有带通特性，那么其在分数域是有限支撑的，它与信号分数傅里叶变换的乘积也将反应信号在分数域的局部特征，从而实现所希望的分数频率定位功能。 - 短时分数傅里叶变换是 t-u 平面上对信号进行分析，而经典短时分数傅里叶变换是在 t-w 平面对信号进行分析，当角度 α=pi/2 时短时分数傅里叶变换便退化为短时傅里叶变换
分数小波变换
短时分数傅立叶变换很好的克服了分数傅里叶变换的不足，它的窗口大小固定，本质上是加窗分数傅立叶变换，适合分析分段平稳信号。但是短时分数傅里叶变换的时间分辨率和分数阶频率分辨率相互约束，需要折中选择。
经典小波变换
在时域可表示为经典卷积的形式，而在频域则体现为多尺度乘性滤波器。
分数阶小波变换
计算过程可分为三个部分：
性质及定理基本都继承了经典小波变换
分数小波变换是一种可逆的无损变换，通过变换系数可以完全恢复出原始信号
任意一个经典小波变换的母小波都对应着一个分数阶小波变换。在分数小波变换中，可以直接利用经典小波变换的所有母小波函数，也可以根据具体要求去设计新的母小波函数。
分数小波变换的重建方程：
方程表明在时间-尺度平面上的任意一点（a0,b0）,分数小波变换值都可以由所有其他点（a,b）的分数阶小波变换值表示。也就是说，分数小波变换是冗余的，需要对其尺度参数 a 和平移参数 b 进行离散化处理，对应的结果就是离散分数阶小波变换。
分数阶小波变换的恒Q特性
--------在学------