MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)

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文章目录

  • 图的相关概念
  • 涂色问题
    • 基础涂色方法(贪婪算法)
      • 证明
  • 二分图
  • 匹配问题
    • 应用:稳定婚烟问题
    • 算法
      • 性质及其证明

图的相关概念

  • 图的定义:一组(V,E)对。
  • V:一个点集的集合。
  • E:边集,呈现形式为V上的一个关系。什么是关系

V的一个例子为{x1,x2,x3},E的一个例子为{(x1,x2),(x2,x3)},也可写成{x1-x2,x2-x3}。

  • 相邻点:如果两个点之间有边,那么这两个点就是相邻的。
  • 映射:如果(x1,x2)是E的一个元素,那么E映射到x1,E也映射到x2
  • 度数:边集映射到x1的次数称为x1的度数。
  • 环:起点和终点都是同一个点的边称为环。
  • 重边:两个起点和终点完全相同的边称为重边。
  • 简单图:没有环或者重边的图称作简单图。

涂色问题

给定一个图,如果最少能用K种颜色为图涂色,使相邻点拥有不同颜色,那么K称为该图的色度。

基础涂色方法(贪婪算法)

步骤:

  • 将点标号为x1,x2,…,xn
  • 将颜色标号为c1,c2,…,cn
  • 每次用标号最小的合法颜色涂标号最小的尚未上色的点。

易证:使用这种算法,如果图中度数最多的点有d度,那么最多使用(d+1)种颜色。

证明

可以用归纳法证明,设Pn表示有n个点的图满足命题:

  • 基础步骤:n=1时,d=0,用一种颜色,P1=T。
  • 归纳步骤:假设Pn=T,考虑有(n+1)个点的图,该图中的点最多拥有d度。若在该图中取走一个点,那么剩下的n点图中的点也最多拥有d度且一定满足Pn。再加回该点,即使该点拥有d度,且相连的d个点颜色都不同,该点也可以使用第(d+1)种颜色,因此(n+1)点图的色度<=(d
    +1),Pn+1=T。□

二分图

如果一个图可以分成左右两个集合,集合内部的点都不相邻,分属于两个集合的部分点有相邻关系,那么这个图称为二分图。不难看出,二分图色度为2。

匹配问题

  • 匹配:给定一个图,这个图的一个所有点都有且只有1度的子图称作该图的一个匹配。例如:
    MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第1张图片

对于这个图,{x1-x5,x2-x8,x3-x6,x4-x7}是该图的一个匹配。注意,{x1-x5}也是该图的一个匹配。

  • 如果一个匹配包括原图的所有点,那么这个匹配是一个完美匹配。
  • 对于带权图来说,一个匹配的权重是匹配中所有边的权重之和。此时完美匹配需满足两个条件:包括所有点且该匹配拥有最小权重。我们也称此时的完美匹配为最小权重匹配

应用:稳定婚烟问题

看下面的图,假定A,B是男生,C,D是女生。边的权重值越小,代表该男生、女生越喜欢ta的该相邻点:
MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第2张图片

我们可以看出A更喜欢D,B更喜欢C…假定如果A和C结婚,B和D结婚,那么比起伴侣,A和D都更喜欢对方,那么他们可能发生出轨行为,导致婚烟不稳定。反之,如果A和D结婚,B和C结婚,那么婚烟是稳定的,因为即使C更喜欢A,但A更喜欢他的伴侣D,因此他不愿意和C出轨。
那么,对于一个带权图,怎么找到它的稳定婚烟匹配呢?

算法

首先明确一点:只有二分图才有稳定婚烟匹配,因此如果混入了gay或……那么不存在稳定婚烟匹配。另外,男女生数量必须相同,这点很好理解。我们可以通过一个称作TMA的算法找到一个图的一种稳定婚烟匹配。TMA步骤如下:

  • 每个男生去找他最喜欢的女生示爱。
  • 如果女生发现有多个男生来找她,她查看自己的权重并找到她最喜欢的,拒绝其他男生。注意这并不代表留下的这个男生就是她的最终伴侣。
  • 被拒绝的男生将这个女生从他的权重名单里划掉,然后顺位去找下一个女生示爱。
  • 重复第二步和第三步,直到每个女生面前有且只有一位男生示爱,算法结束,找到稳定婚烟匹配。

举个例子说明。假定对于每个男生和女生,他们的权重名单如下(这里跳过图阶段而直接抽象出信息),最左边的是最喜欢的,最右边的是最不喜欢的:
MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第3张图片

  1. 男生按照权重名单去找相对应的女生。
    MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第4张图片

  2. 在A面前有三个男生,根据名单,她留下5;剩下的2 4两男生划掉A,分别去找下一个女生:
    MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第5张图片

  3. C查看名单,留下4;1划掉C,去找B:
    MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第6张图片

  4. B查看名单,留下2;1划掉B,去找E:
    MIT6.024学习笔记(二)——图论(1)_第7张图片

至此,所有女生面前有且仅有一个男生,算法结束。
经过检验(感兴趣的读者可以自行尝试一下),这个算法是有效的。接下来我们对其性质进行证明。

性质及其证明

  • 性质1:这个算法会在不多于(n2+1)个周期内结束。这个性质很好理解,n个男生,n个女生,男生的名单最多划n2次,除了第一个回合外,每个回合至少有一个男生的名单会被划,因此算法最多执行(n2+1)个周期。
  • 性质2:如果一个女生拒绝了一个男生,那么从她拒绝的那一天开始到算法结束,她身边一定有一个她更喜欢的示爱者。这个性质可以用归纳法来形式化的证明,但直观上也很好理解,假若女孩A拒绝男孩3在某一天,那么当天她留下的那个一定是更喜欢的,未来的某一天她即使拒绝了之前留下的,也说明有更更喜欢的示爱者来了,根据传递性,该性质正确。
  • 性质3:每个人经过该算法的匹配后都有一个伴侣,这点不需证明。
  • 性质4:TMA产生一个稳定婚烟匹配。如果一个男生和女生没能结婚,那么有两种可能:女生拒绝了男生,根据性质2,女生一定更喜欢现在的伴侣,不会产生出轨;男生没来找过女生,此时男生一定更喜欢他现在的伴侣,因此也不会产生出轨。
  • 性质5(证明较复杂,参考知乎文章:稳定婚烟问题):TMA算法中男生能找到保证稳定婚烟下的最佳情侣。用算法进行的轮数来归纳证明:

首先定义:如果A和B是合适的,那么存在一种稳定婚烟匹配中A和B配对。
基础步骤:利用归谬法证明在第1轮结束时,没有男生被合适的女生拒绝,即如果一个男生被女生拒绝,那么他们一定是不合适的。设女生A在第1轮拒绝1而选择了2,那么假设在某一个稳定匹配中,A和1结婚,那么A更喜欢2,而2最喜欢A,所以会发生出轨,则这个婚烟是不稳定的,出现矛盾,假设不成立,证明完成。
归纳步骤:如果在第n轮结束时,依然没有男生被合适的女生拒绝,则证明在(n+1)轮时依然不会有。设在第(n+1)轮,女生A拒绝1而选择了2,假设A和1在某个稳定匹配中结婚,那么A更喜欢2,对2来说,在TMA算法中拒绝他的女生都是不合适的,即不可能在任何稳定匹配中出现2与她们结婚的情况,因此在假想的稳定匹配中,他的最终伴侣一定差于A,那么2也更喜欢A,所以发生出轨,出现矛盾。因此一旦女生对男生合适,那么她就不会拒绝这个男生,又因为男生是按照他的喜好顺序求爱的,因此最后找到的一定是他的稳定最佳情侣。□

  • 性质6:TMA算法中女生总会找到稳定最差情侣。依然用归谬法证明,假设存在一个稳定匹配,该匹配中有一个女生G匹配到比TMA匹配中更差的情侣B,那么她更喜欢在TMA算法中匹配到的男生B;对于B来说,由于性质5,他也一定更喜欢在TMA算法中匹配到的稳定最佳情侣G,所以出现出轨,产生矛盾,命题得证。□
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