阶乘求和——求1~202320232023的阶乘总和的末尾九位数字
求 1! + 2! + 3! + … + 202320232023! ，总和的末尾九位数字。
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—— 华罗庚
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- ◆ 阶乘求和
-
- 1、题目描述
- 2、“简单”解题思路
-
- 2.1 求阶乘函数
- 2.2 for 遍历轮询求阶乘序列总和
- 2.3 截取总和末尾九位数字
- 3、探究“捷径”
- 4、算法优化
-
- 4.1 总和的末尾九位数字连续十次相同
- 4.2 n! 的末尾九位数字全为0
- 5、完整源码
◆ 阶乘求和
1、题目描述
令 S = 1!+ 2! + 3! + … + 202320232023! ，求 S 的末尾 9 位数字。
- 提示：答案首位不为 0 。
(问题来源于 CSDN 问答社区提问“问题”)。
2、“简单”解题思路
这题目“超简单”，写一个“求阶乘”的子模块，循环调用子模块求阶乘序列总和就好。
2.1 求阶乘函数
- Python 代码
def factorail(n):
if n in (0, 1):
return 1
result = 1
for i in range(2, n+1):
result *= i
return result
- 这里就不用“递归算法”求阶乘，改用效率更高的 for 循环。
2.2 for 遍历轮询求阶乘序列总和
start_sec = time()
n = 202320232023
result = 0
for i in range(1, n + 1):
print(' '*50, end='\r')
print(f"{' '*(i%40)}正在计算……", end='\r')
result += factorail(i)
2.3 截取总和末尾九位数字
print(f"\n{str(result)[-9:]}\n\n{f' 程序用时 {time() - start_sec:.4f} 秒 ':~^45}\n")
- 这看似无可挑剔的“算法”，却出不了结果。原因是 1～202320232023 那么大序列的阶乘总和，是一时半会演算不出来的。还有可能发生“内存溢出”的情况。
(我缘于好奇，让我的前面那段代码在 termux 上跑了几个小时，都还在“演算中……”，只好手动按下 Ctrl + c ，kill 了进程。)
3、探究“捷径”
大神解题思路：
阶乘增加很快，45! 的末九位数就全都为 0 了(当然是 Pythond 打印看到的)，因为我们只需要末九位数字，所以后面任意的 + n! 都不会对 1! + 2! + … + 202320232023! 的总和最后九位数字造成影响，枚举到 + 45! 即可。答案为 420940313 。
if __name__ == '__main__':
for i in range(1, 4):
print(factorail(i))
input()
- 代码运行输出 1!～45! ：
/sdcard/qpython $ python 000.py
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
39916800
479001600
6227020800
87178291200
1307674368000
20922789888000
355687428096000
6402373705728000
121645100408832000
2432902008176640000
51090942171709440000
1124000727777607680000
25852016738884976640000
620448401733239439360000
15511210043330985984000000
403291461126605635584000000
10888869450418352160768000000
304888344611713860501504000000
8841761993739701954543616000000
265252859812191058636308480000000
8222838654177922817725562880000000
263130836933693530167218012160000000
8683317618811886495518194401280000000
295232799039604140847618609643520000000
10333147966386144929666651337523200000000
371993326789901217467999448150835200000000
13763753091226345046315979581580902400000000
523022617466601111760007224100074291200000000
20397882081197443358640281739902897356800000000
815915283247897734345611269596115894272000000000
33452526613163807108170062053440751665152000000000
1405006117752879898543142606244511569936384000000000
60415263063373835637355132068513997507264512000000000
2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
- 由上面的打印可以看到，45! 的末尾九位数字就开始全 0 了。
start_sec = time()
n = 202320232023
result = 0
for i in range(1, 46):
print(' '*50, end='\r')
print(f"{' '*(i%40)}正在计算……", end='\r')
temp = factorail(i)
'''if str(temp)[-9:] == '0'*9:
break'''
result += temp
#print(i, str(result)[-9:], factorail(i))
if __name__ == '__main__':
print(f"\n{str(result)[-9:]}\n\n{f' 程序用时 {time() - start_sec:.4f} 秒 ':~^45}\n")
据其上思路，我们就把 for 循环定到 45 就好。但，这是在您熟悉 1～45 阶乘的情况下，要是不明白这“技巧”哩？
4、算法优化
4.1 总和的末尾九位数字连续十次相同
总和后九位数字连续十次不变，说明已经遍历轮询到 n! 后九位数字全部是 0 了，可以退出循环，输出结果。
# 总和后九位数字连续十次不变
start_sec = time()
n = 202320232023
result = flag = 0
tail = None
for i in range(1, n + 1):
print(' '*50, end='\r')
print(f"{' '*(i%40)}正在计算……", end='\r')
result += factorail(i)
temp = str(result)[-9:]
if tail != temp:
tail = temp
else:
flag += 1
if flag > 10:
break
#print(i, str(result)[-9:], factorail(i))
if __name__ == '__main__':
print(f"\n{str(result)[-9:]}\n\n{f' 程序用时 {time() - start_sec:.4f} 秒 ':~^45}\n")
4.2 n! 的末尾九位数字全为0
- 当轮询到 n! 的阶乘结果后面九位数字都是 0 时，对阶乘序列总和的结果末尾九位数字就没有影响了，可以退出循环输出结果。
start_sec = time()
n = 202320232023
result = 0
for i in range(1, n + 1):
print(' '*50, end='\r')
print(f"{' '*(i%40)}正在计算……", end='\r')
temp = factorail(i)
if str(temp)[-9:] == '0'*9:
break
result += temp
#print(i, str(result)[-9:], factorail(i))
if __name__ == '__main__':
print(f"\n{str(result)[-9:]}\n\n{f' 程序用时 {time() - start_sec:.4f} 秒 ':~^45}\n")
此题目不是考查我等只晓得哈哈写代码的人，而是要求有很好的洞察力和分析力，可以看透事物本质的能力。实实在在循环202320232023次，是行没通滴。
5、完整源码
(源码较长，点此跳过源码)
#!/sur/bin/nve python
# coding: utf-8
from time import time
def factorail(n):
if n in (0, 1):
return 1
result = 1
for i in range(2, n+1):
result *= i
return result
#if __name__ == '__main__':
#for i in range(1, 45):
#print(factorail(i))
#input()
# 总和后九位数字连续十次不变
start_sec = time()
n = 202320232023
result = flag = 0
tail = None
for i in range(1, n + 1):
print(' '*50, end='\r')
print(f"{' '*(i%40)}正在计算……", end='\r')
result += factorail(i)
temp = str(result)[-9:]
if tail != temp:
tail = temp
else:
flag += 1
if flag > 10:
break
#print(i, str(result)[-9:], factorail(i))
if __name__ == '__main__':
print(f"\n{str(result)[-9:]}\n\n{f' 程序用时 {time() - start_sec:.4f} 秒 ':~^45}\n")
input(flag)
# n! 后九位数字全0
start_sec = time()
n = 202320232023
result = 0
for i in range(1, n + 1):
print(' '*50, end='\r')
print(f"{' '*(i%40)}正在计算……", end='\r')
temp = factorail(i)
if str(temp)[-9:] == '0'*9:
break
result += temp
#print(i, str(result)[-9:], factorail(i))
if __name__ == '__main__':
print(f"\n{str(result)[-9:]}\n\n{f' 程序用时 {time() - start_sec:.4f} 秒 ':~^45}\n")
input(000000000)
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本篇博文笔记于 2021-12-05 23:28:10 发布。
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