【Applied Algebra】扩域(Galois域)上的计算及其实现

扩域上(Galois域)的计算及其实现

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有限域 $F$ 的特征为素数 $p$; 它可以视作素域 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的 $n(n<\infty )$ 维线性空间, 从而 $|F|=p^n$; $F$ 的加法群可视作 $n$ 个 $p$ 阶循环群的直和; 其乘法群是 $p^n-1$ 阶循环群, 从而 $F$ 是 ${\mathbb{Z}}_p$ 的单扩域 ${\mathbb{Z}}_p(u)$, 其中 $u$ 是 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的 $n$ 次代数元; $F$ 恰是多项式 $x^{p^n}-x\in {\mathbb{Z}}_p[x]$ 的 $p^n$ 个根作成的集合, 又恰为 $x^{p^n}-x\in {\mathbb{Z}}_p[x]$ 在 ${\mathbb{Z}}_p$ 上的分裂域; 从而 $p^n$ 元域总存在, 且在同构意义下唯一. $p^n$ 元域 $F$ 的自同构群恰为 Galois 群 $\mathrm{Gal}\left(F/{\mathbb{Z}}_p\right)$ : 它是由 Frobenius 自同构 $a\mapsto a^p$ 生成的 $n$ 阶循环群.虽然这样的域在近世代数的学习中已然是老生常谈,但是今天我们会给出它的c++计算实现.

扩域上的计算

密码学中通常会考虑${\mathbb{F}}_2$上及对应多项式环上的计算,这是由计算机的二进制基础决定的,但是随着加密解密方法的进展,很多加密协议及分析中会考虑很多扩域的计算,在本文中我们希望能实现${\mathbb{F}}_{p^n}$上的计算.

例:假设计算${\mathbb{F}}_{2^4}$上的元素,根据${\mathbb{F}}_{2^4}\cong {\mathbb{F}}_2/f(x)$,这里设$f(x)=x^4+x^3+1$为不可约多项式;${\mathbb{F}}_{2^4}$中洽有$16$个元素吗,${\mathbb{F}}_2/f(x)$中的元素可以表示为小于$4$次的多项式,根据每一项出现与否($\{x^3,x^2,x,1\}$)也恰有16个多项式,那么和${\mathbb{F}}_{2^4}$中的元素一一对应,因此${\mathbb{F}}_{2^4}$亦可表示为:

$${\mathbb{F}}_{2^4}=\{0000,0001,...,1111\}$$

我们的程序设计要用到我之前博客提到的GiNaC库,一个C++符号计算库,首先我们设计扩域和扩域元素的数据结构:

struct extension_field
{
    int PRIME_NUM;
    int EXTEN_NUM;
    GiNaC::ex IRRED_POLY;
};

class extension_field_element
{
public:
    extension_field* pt_EXT_FIELD;
    int ELEMENT_INDEX;
    string SYMBOL;
    GiNaC::ex POLYNOMIAL;
    extension_field_element(extension_field* pt_EXT_FIELD,const GiNaC::ex& POLYNOMIAL);
    extension_field_element operator+(const extension_field_element& EXT_FIELD_ELE_OPS) const;
    extension_field_element operator*(const extension_field_element& EXT_FIELD_ELE_OPS) const;
};

扩域中元素的加法和乘法简单说就是取模的加法乘法,下面看算例:仍考虑计算${\mathbb{F}}_{2^4}$上的元素,根据${\mathbb{F}}_{2^4}\cong {\mathbb{F}}_2/f(x)$,这里设$f(x)=x^4+x^3+1$为我们选取的不可约多项式(要求选取的不可约多项式是本原多项式,至于怎么找本原多项式这里不赘述,请参考[2]);那么取:

$$(x^3+x^2+1)=f_1(x),(x^3+x+1)=f_2(x)$$

那么加法的实现$(2=0\mathrm{mod}2)$:

$$\begin{array}{rl}& f_1(x)+f_2(x)\\ =& (x^3+x^2+1)+(x^3+x+1)\\ =& 2x^3+x^2+x+2=x^2+x\end{array}$$

乘法的实现:
$$\begin{array}{rl}{f}_1(x)\cdot f_2(x)& =(x^3+x^2+1)(x^3+x+1)\\ & =x^6+x^5+x^4+x^3+x^3+x^3+x^2+x+1\\ & =x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\end{array}$$

又由$f(x)=x^4+x^3+1$,那么消去$x^6$也就是$x^6=x^2\cdot f(x)-x^5-x^2$得:

$$f_1(x)\cdot f_2(x)=x^2\cdot f(x)+f(x)+x\equiv x\mathrm{mod}f(x)$$

因而得到${\mathbb{F}}_{2^4}$上$f_1(x)\cdot f_2(x)=x$;在计算过程中我们会用到模不可约多项式$f(x)$也就是拟除$f(x)$的过程,以下是拟除的实现方法,其中包含了多项式系数模$p$的函数(略):

GiNaC::ex pseudo_divide(const GiNaC::ex& POLYNOMIAL, const GiNaC::ex& POLYNOMIAL_DIV, const int& PRIME_NUM)
{
    GiNaC::ex POLYNOMIAL_RES = POLYNOMIAL;
    int DIS_DEG;GiNaC::ex COEFF_LEAD;
    while(POLYNOMIAL_RES.degree(a)>=POLYNOMIAL_DIV.degree(a))
    {
        DIS_DEG = POLYNOMIAL_RES.degree(a) - POLYNOMIAL_DIV.degree(a);
        COEFF_LEAD = POLYNOMIAL_RES.coeff(a,POLYNOMIAL_RES.degree(a));
        POLYNOMIAL_RES = coeff_mod(POLYNOMIAL_RES - (COEFF_LEAD*POLYNOMIAL_DIV*GiNaC::pow(a, DIS_DEG)).expand(), PRIME_NUM);
    }
    return POLYNOMIAL_RES;
}

扩域上的加法很简单,在此亦不赘述,下面是乘法的实现:

extension_field_element extension_field_element::operator*(const extension_field_element& EXT_FIELD_ELE_OPS) const
{
    GiNaC::ex POLYNOMIAL_RES=0;
    extension_field_element EXT_FIELD_ELE_RES(this->pt_EXT_FIELD,POLYNOMIAL_RES);
    if(this->pt_EXT_FIELD != EXT_FIELD_ELE_OPS.pt_EXT_FIELD){return EXT_FIELD_ELE_RES;}
    EXT_FIELD_ELE_RES.POLYNOMIAL = pseudo_divide((this->POLYNOMIAL*EXT_FIELD_ELE_OPS.POLYNOMIAL).expand(),this->pt_EXT_FIELD->IRRED_POLY,this->pt_EXT_FIELD->PRIME_NUM);
    return EXT_FIELD_ELE_RES;
}

扩域上的多项式环

假设考虑${\mathbb{F}}_{p^n}$上的元素,根据${\mathbb{F}}_{p^n}\cong {\mathbb{F}}_p/f(x)$,这里设$f(x)$是一模$p$的$n$阶不可约多项式;现在考虑多项式环${\mathbb{F}}_{p^n}[x_1,\cdots ,x_m]$的计算,其中的多项式$g(x)$形如:

$$g(x)\in \{\sum _i{f}_i{M}_i|f_i\in {\mathbb{F}}_p/f(x),M_i=x_1^{{\alpha }_i}...x_n^{{\alpha }_n}\}$$

事实上若限定$x_j$的取值也在${\mathbb{F}}_p/f(x)$上面,是小于$n$阶的含$x$的模$p$多项式;我们现在考虑有没有什么规则可以利用来化简$M_i$来防止阶数爆炸;

事实上,$x_j$作为${\mathbb{F}}_{p^n}$上的元素,${\mathbb{F}}_{p^n}\setminus 0$构成一个$p^n-1$阶循环群,其阶只可能是$p^n-1$的因数(例:${\mathbb{F}}_{3^2}$上的元素的阶只可能是$1,2,4,8$),综上所述,只能断言$x_j^{p^n}=x_j$.下面我们用程序${\mathbb{F}}_{3^4}$中某元素$g$的阶$=8$,是$3^4-1=80$的因数:

g^1 = 1+a+2*a^2
g^2 = 2*a+a^2
g^3 = 1+2*a+a^2
g^4 = 2
g^5 = 2+2*a+4*a^2
g^6 = a+2*a^2
g^7 = 2+a+2*a^2
g^8 = 1
g^9 = 1+a+2*a^2

一个额外的思考():若我们需要求解多项式环${\mathbb{F}}_{p^n}[x_1,\cdots ,x_m]$上的方程组,那么带着系数算来算去复杂度太高,不由得想到了动态规划,也就是先计算${\mathbb{F}}_{p^n}$上的加法乘法表$\mathcal{T}$,则我们可以查表得到$\mathcal{T}(g_i,g_j,+)=g_k$和$\mathcal{T}(g_i,g_j,\times )=g_l$来获得加法乘法结果,那多项式环${\mathbb{F}}_{p^n}[x_1,\cdots ,x_m]$的多项式$g(x)$形如:

$$g(x)\in \{\sum _i{g}_i{M}_i|g_i\in {\mathbb{F}}_{p^n},M_i=x_1^{{\alpha }_i}...x_n^{{\alpha }_n}\}$$

计算一下子从多项式计算简化为纯符号计算,此时系数是纯符号的,我们只需要专心处理变元的计算结果即可,这也是下一步程序设计的工作.

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参考资料

[1] Modern abstract algebra, Anderson, M. and Feil, T.,2014.
[2] 应用近世代数(第三版),胡冠章,清华大学出版社.