完全背包问题-代码随想录-刷题笔记
完全背包理论基础
有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。
完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。
回顾一下01背包的核心代码
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的！
两个for循环的先后循序，都不影响计算dp[j]所需要的值（这个值就是下标j之前所对应的dp[j]）
// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
cout << endl;
}
完整代码：先物后背包
// 先遍历物品，在遍历背包
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
完整代码：先背包后物
// 先遍历背包，再遍历物品
void test_CompletePack() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_CompletePack();
}
518.零钱兑换II：求组合
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合，都是 2 2 1。
组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]
2.确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。
所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];
3.dp数组如何初始化
dp[0] = 1是 递归公式的基础
4.确定遍历顺序
1)外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况。
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
coins[0] = 1，coins[1] = 5。
那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！
如果把两个for交换顺序，代码如下：
for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。
此时dp[j]里算出来的就是排列数！
5.举例推导dp数组
完整代码
//时间复杂度: O(mn)，其中 m 是amount，n 是 coins 的长度
//空间复杂度: O(m)
class Solution {
public:
int change(int amount, vector<int>& coins) {
vector<int> dp(amount + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
dp[j] += dp[j - coins[i]];
}
}
return dp[amount];
}
};
总结
在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
377. 组合总和 Ⅳ：求排列
组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。
排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]
2.确定递推公式
dp[i] += dp[i - nums[j]];
3.dp数组如何初始化
dp[0] = 1
4.确定遍历顺序
target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。
5.举例来推导dp数组
整体代码
//时间复杂度: O(target * n)，其中 n 为 nums 的长度
//空间复杂度: O(target)
//C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。
class Solution {
public:
int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
vector<int> dp(target + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
dp[i] += dp[i - nums[j]];
}
}
}
return dp[target];
}
};
总结
求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，但关键在于遍历顺序！
70. 爬楼梯
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i]:爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。
2.确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]
那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]
3.dp数组如何初始化
那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在
4.确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！
所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。
每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。
5.举例来推导dp数组
//时间复杂度: O(nm)
//空间复杂度: O(n)
//代码中把m改成2就是本题可以AC的代码了
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};
322. 零钱兑换
1)确定dp数组以及下标的含义
dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]
**2）**确定递推公式
凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]）
所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。
递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
3）dp数组如何初始化
首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;
其他下标对应的数值呢？
考虑到递推公式的特性，dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。
4.确定遍历顺序
题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。
所以本题并不强调集合是组合还是排列。
如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。
5.举例推导dp数组
// 版本一
//先物品后背包
//时间复杂度: O(n * amount)，其中 n 为 coins 的长度
//空间复杂度: O(amount)
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
if (dp[j - coins[i]] != INT_MAX) { // 如果dp[j - coins[i]]是初始值则跳过
dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
// 版本二
// 先背包后物品
class Solution {
public:
int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i <= amount; i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < coins.size(); j++) { // 遍历物品
if (i - coins[j] >= 0 && dp[i - coins[j]] != INT_MAX ) {
dp[i] = min(dp[i - coins[j]] + 1, dp[i]);
}
}
}
if (dp[amount] == INT_MAX) return -1;
return dp[amount];
}
};
279.完全平方数
完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]
2)确定递推公式
dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]。
此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
3）dp数组如何初始化
dp[0]一定是0
非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖
4）遍历顺序
本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！
5）举例
// 版本一
//时间复杂度: O(n * √n)
//空间复杂度: O(n)
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 0; i <= n; i++) { // 遍历背包
for (int j = 1; j * j <= i; j++) { // 遍历物品
dp[i] = min(dp[i - j * j] + 1, dp[i]);
}
}
return dp[n];
}
};
// 版本二
class Solution {
public:
int numSquares(int n) {
vector<int> dp(n + 1, INT_MAX);
dp[0] = 0;
for (int i = 1; i * i <= n; i++) { // 遍历物品
for (int j = i * i; j <= n; j++) { // 遍历背包
dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);
}
}
return dp[n];
}
};
139.单词拆分
法一：回溯
回溯算法：枚举分割所有字符串，判断是否在字典里出现过。
//时间复杂度：O(2^n)，因为每一个单词都有两个状态，切割和不切割
//空间复杂度：O(n)，算法递归系统调用栈的空间
class Solution {
private:
bool backtracking (const string& s, const unordered_set<string>& wordSet, int startIndex) {
if (startIndex >= s.size()) {
return true;
}
for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
string word = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && backtracking(s, wordSet, i + 1)) {
return true;
}
}
return false;
}
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
return backtracking(s, wordSet, 0);
}
};
法二：记忆化递归
递归的过程中有很多重复计算，可以使用数组保存一下递归过程中计算的结果。
使用memory数组保存每次计算的以startIndex起始的计算结果，如果memory[startIndex]里已经被赋值了，直接用memory[startIndex]的结果。
class Solution {
private:
bool backtracking (const string& s,
const unordered_set<string>& wordSet,
vector<bool>& memory,
int startIndex) {
if (startIndex >= s.size()) {
return true;
}
// 如果memory[startIndex]不是初始值了，直接使用memory[startIndex]的结果
if (!memory[startIndex]) return memory[startIndex];
for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
string word = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && backtracking(s, wordSet, memory, i + 1)) {
return true;
}
}
memory[startIndex] = false; // 记录以startIndex开始的子串是不可以被拆分的
return false;
}
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> memory(s.size(), 1); // -1 表示初始化状态
return backtracking(s, wordSet, memory, 0);
}
};
法三：动态规划
单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。
拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！
- 确定dp数组以及下标的含义
dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词
2.确定递推公式
如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true。（j < i ）。
所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。
3.dp数组如何初始化
dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都是false了
4.确定遍历顺序:其实求的是排列数
拿 s = “applepenapple”, wordDict = [“apple”, “pen”] 举例。
“apple”, “pen” 是物品，那么我们要求 物品的组合一定是 “apple” + “pen” + “apple” 才能组成 “applepenapple”。“apple” + “apple” + “pen” 或者 “pen” + “apple” + “apple” 是不可以的，那么我们就是强调物品之间顺序。所以说，本题一定是 先遍历 背包，再遍历物品。
5.举例推导dp[i]
//时间复杂度：O(n^3)，因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度（这里的n是substring的长度）
//空间复杂度：O(n)
class Solution {
public:
bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {
unordered_set<string> wordSet(wordDict.begin(), wordDict.end());
vector<bool> dp(s.size() + 1, false);
dp[0] = true;
for (int i = 1; i <= s.size(); i++) { // 遍历背包
for (int j = 0; j < i; j++) { // 遍历物品
string word = s.substr(j, i - j); //substr(起始位置，截取的个数)
if (wordSet.find(word) != wordSet.end() && dp[j]) {
dp[i] = true;
}
}
}
return dp[s.size()];
}
};
- 时间复杂度：O(n^3)，因为substr返回子串的副本是O(n)的复杂度（这里的n是substring的长度）
- 空间复杂度：O(n)
拓展：为什么先遍历物品再遍历背包不行。
总结
