【蓝桥杯】求既约分数—＞（全解）最大公约数与最小公倍数

前言：

通过对【蓝桥杯】2020初赛的一道求既约分数的题目的讲解，引出关于求“最大公约数与最小公倍数”的方法汇总。

对于“最大公约数与最小公倍数”来说，求解都有一些固定的方法，而这些方法一般都是固定的，只需要掌握方法，在日后遇到类似题目直接套用即可。

---

目录

蓝桥杯题目：既约分数

 思路分析：

完整代码：

求最大公约数：

一、辗转相除法

二、更相减损法

三、穷举法

 四、递归（辗转相除）

 求最小公倍数：

一、穷举法

二、a*b/最大公约数

---

蓝桥杯题目：既约分数

 思路分析：

首先我们需要利用双层循环搭配产生分子与分母，得到这些数字后，在循环中判断这两个数是否满足他们的最大公约数为1即可，那么我们先做框架，再做细节，所以主函数（框架）这样设计：

int main()
{
	int i = 0;
	int count = 0;
	for (i = 1; i <= 2020; i++)
	{
		int j = 0;
		for (j = 1; j <= 2020; j++)
		{
			if (gcd(i, j) == 1)//判断他们的最大公约数是否为1
				count++;
		}
	}
	printf("%d", count);
	return 0;
}

之后我们只需要再做细节，设计函数，如果你不知道如何设计求最大公约数的函数的话，在文章后面详细讲解了如何求最大公约数以及如何求最小公倍数。 

完整代码：

int gcd(int a, int b)
{
	int z = b;
	while (a % b)
	{
		z = a % b;
		a = b;
		b = z;
	}
	return z;
}

int main()
{
	int i = 0;
	int count = 0;
	for (i = 1; i <= 2020; i++)
	{
		int j = 0;
		for (j = 1; j <= 2020; j++)
		{
			if (gcd(i, j) == 1)
				count++;
		}
	}
	printf("%d", count);
	return 0;
}

答案：2481215

---

求最大公约数：

一、辗转相除法

通俗的将就是让两个数除留余数，当余数不为0时，继续用除数除以得到的余数，重复这一过程直到余数为0，此时的除数即为最大公约数，用图片表示为：

 代码实现：

int gcd(int a, int b)
{	
	int z = b;//如果初始情况a%b的结果为0，那么此时除数b的值即为最大公约数
	while(a % b!= 0)
	{
		z = a % b;
		a = b;
		b = z;	
	}
	return z;
}

---

二、更相减损法

以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。循环这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

代码实现：

int gcd(int a,int b)
{
	while (a != b)
	{
		if (a > b)
		{
			a = a - b;
		}
		else
		{
			b = b - a;
		}
		return a;
	}
}

---

三、穷举法

穷举法的思路很简单，他的最坏情况时间复杂度极高，不建议使用。

利用定义暴力穷举，创建一个临时变量保存其中一个数的值，循环判断是否满足最大公约数的定义，不满足就减一，直到找到这个数。

代码实现：

int gcd(int a, int b)
{
	int tmp = 0;
	for (tmp = a; ; tmp--)
	{
		if ((0 == a % tmp) && (0 == b % tmp))
			break;
	}
	return tmp;
}

---

 四、递归（辗转相除）

思想同辗转相除法。

int gcd(int a, int b)
{
	if (b == 0)
		return a;
	else
		return gcd(b, a % b);
}

---

 求最小公倍数：

一、穷举法

与求最大公约数的穷举法一样的思路，同样他最坏情况的时间复杂度非常高，不建议使用。

代码实现：

int lcm(int a, int b)
{
	int tmp = a > b ? a : b;
	while (1)
	{
		if ((0 == tmp % a) && (0 == tmp % b))
			break;
		tmp++;
	}
	return tmp;
}

我们可以对这个穷举法进行一定的优化，由每次加一试数改为以乘数加一试数。

代码实现： 

int lcm(int a, int b)
{
	int i = 1;
	while ((a * i) % b)
	{
		i++;
	}
	return (a * i);
}

---

二、a*b/最大公约数

此方法利用最小公倍数的定义得到，即最小公倍数= a*b/最大公约数。

int lcm(int a, int b)
{
    int z = 0;
	int n = a * b;
    //计算最大公约数z
	while (z = a % b)
	{
		a = b;
		b = z;
	}
	return (n / z);//最小公倍数=（a*b）/最大公约数
}

---

求最大公约数类似的问题在算法比赛中很常见，希望这篇文章可以给你带来收获。