高中奥数 2021-09-01

2021-09-01-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P033 习题01）

如图,已知内一点,设、、分别为点在边、、上的投影.假设,且的三个旁心分别为、、.证明:是的外心.

图1

证明

由已知条件可得,.

从而,.设.

同理可设,.

若、、中有一个点在三边的延长线上,如点在的延长线上,则有,矛盾.

因此,、、三个点都在的三边上.

设,,,,则,,.

因为,,所以,是的内的旁切圆与边的切点.

同理,,分别是、内的旁切圆与边、的切点.

由于和均垂直于,所以,、、三点共线.

同理,、、和、、均三点共线.

因为、、三点共线,且,所以,.

同理可得,.

因此,是的外心.

2021-09-01-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P033 习题02）

已知圆内接四边形,、、、分别是边、、、的中点.证明:、、、的垂心恰好是一个平行四边形的四个顶点.

证明

由于是的中点,有,这里是圆心.

由于是一条高线,所以,.

因此,.

同理可证.

这表明四边形是平行四边形.

类似地,四边形也是平行四边形.

于是,四边形也是平行四边形.

考察的另一侧,易看出四边形也是平行四边形.

利用上述结论,便可断定四边形是平行四边形.

2021-09-01-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 三角形中的几个重要定理及其应用 P033 习题03）

设、、分别为的三边、、上的点,且满足.证明.证明:若和的外心重合,则是正三角形.

证明

如图,记与的公共外心为,、、与小圆的另一个交点分别为、、,作于点.

图2

设.

因为,,所以,.

同理,.

由割线定理得:,即.

同理,.故为正三角形.