离散数学图论经典问题之握手定理

知识点:握手定理

在无向图中G=,则所有的节点的度数总和等于边数的2倍；

在有向图G=中，所有节点的入度之和等于所有节点的出度之和，所有节点的度数的总和等于边数的2倍。

 

案例：

唐氏夫妇邀请另外三对夫妇来家里吃饭，以知每个人都不和自己握手，不和自己的配偶握手，同时最多和一人握手一次。在大家吃完饭后，唐先生问大家握了几次手，然而每个人的回答都不相同。请问：唐太太握手几次？

分析：首先解决这个问题，咱们应该建立一个图模型，具体怎么建立应该仔细分析案例中的每一个情景。整个情景之中，一共有8个人，唐先生问剩余7人之中握手次数，我们应该可以推出握手次数最多的那个人最多为6次。我们可以按编号的方式来解决。

 

剩余7人握手次数分布表1

A	B	C	D	E	F	G
0	1	2	3	4	5	6

 

 

从表一我们可以分析出A和G是一对夫妇，我们可以画出任意一对夫妇（比如A夫妇）握手的图出来，如下所示：

所以我们可以排除一对夫妇，在剩下的5人中寻找唐太太，那么对应这5人中，每人的握手次数也应该减少一次。分析如下表所示：

 

剩余5人的握手次数分布表2

B	C	D	E	F
0	1	2	3	4

 

 

同样从表2我们可以分析出B和F是一对夫妇，我们可以画出B夫妇握手的图出来，如下所示：

 

同样我们可以排除一对夫妇，在剩下三个人寻找唐太太，其中这三个人握手次数减少一次，分布如下：

 

剩余三人握手次数分布表3

C	D	E
0	1	2

 

 

同样我们可以从表3中得到，C和E是一对夫妇，我们可以画出C夫妇的握手图模型如下：

所以我们可以推出D是唐太太，根据表一，我们可以知道唐太太握手次数为3.

思路总结：本案例充分体现的握手定理的便利，理解每一句话建立模型，其中握手次数我们可以抽象成图论里面的度，每一个人可以抽象成图模型里的结点，握手抽象成图模型里的边。采用排除法的思想寻找唐太太，最终解决问题。