浅谈AVL树,红黑树,B树,B+树原理及应用

二叉查找树

简介

二叉查找树也称为有序二叉查找树,满足二叉查找树的一般性质,是指一棵空树具有如下性质:

• 任意节点左子树不为空,则左子树的值均小于根节点的值.
• 任意节点右子树不为空,则右子树的值均大于于根节点的值.
• 任意节点的左右子树也分别是二叉查找树.
• 没有键值相等的节点.

局限性及应用

一个二叉查找树是由n个节点随机构成,所以，对于某些情况,二叉查找树会退化成一个有n个节点的线性链.如下图:

这里写图片描述

b图为一个普通的二叉查找树,大家看a图,如果我们的根节点选择是最小或者最大的数,那么二叉查找树就完全退化成了线性结构,因此,在二叉查找树的基础上,又出现了AVL树,红黑树,它们两个都是基于二叉查找树,只是在二叉查找树的基础上又对其做了限制.

AVL树

简介

AVL树是带有平衡条件的二叉查找树,一般是用平衡因子差值判断是否平衡并通过旋转来实现平衡,左右子树树高不超过1,和红黑树相比,它是严格的平衡二叉树,平衡条件必须满足(所有节点的左右子树高度差不超过1).不管我们是执行插入还是删除操作,只要不满足上面的条件,就要通过旋转来保持平衡,而旋转是非常耗时的,由此我们可以知道AVL树适合用于插入删除次数比较少，但查找多的情况。

这里写图片描述

从上面这张图我们可以看出,任意节点的左右子树的平衡因子差值都不会大于1.

局限性

由于维护这种高度平衡所付出的代价比从中获得的效率收益还大,故而实际的应用不多，更多的地方是用追求局部而不是非常严格整体平衡的红黑树.当然,如果应用场景中对插入删除不频繁,只是对查找要求较高,那么AVL还是较优于红黑树.

应用

Windows NT内核中广泛存在.

红黑树

简介

一种二叉查找树,但在每个节点增加一个存储位表示节点的颜色,可以是red或black. 通过对任何一条从根到叶子的路径上各个节点着色的方式的限制,红黑树确保没有一条路径会比其它路径长出两倍.它是一种弱平衡二叉树(由于是若平衡,可以推出,相同的节点情况下,AVL树的高度低于红黑树),相对于要求严格的AVL树来说,它的旋转次数变少,所以对于搜索,插入,删除操作多的情况下,我们就用红黑树.

性质

• 每个节点非红即黑.

• 根节点是黑的。

• 每个叶节点(叶节点即树尾端NUL指针或NULL节点)都是黑的.

• 如果一个节点是红的,那么它的两儿子都是黑的.

• 对于任意节点而言,其到叶子点树NIL指针的每条路径都包含相同数目的黑节点.

  
  
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  每条路径都包含相同的黑节点.

应用

• 广泛用于C++的STL中,map和set都是用红黑树实现的.
• 著名的linux进程调度Completely Fair Scheduler,用红黑树管理进程控制块,进程的虚拟内存区域都存储在一颗红黑树上,每个虚拟地址区域都对应红黑树的一个节点,左指针指向相邻的地址虚拟存储区域,右指针指向相邻的高地址虚拟地址空间.
• IO多路复用epoll的实现采用红黑树组织管理sockfd，以支持快速的增删改查.
• ngnix中,用红黑树管理timer,因为红黑树是有序的,可以很快的得到距离当前最小的定时器.
• java中TreeMap的实现.

B/B+树

注意B-树就是B树,-只是一个符号.

简介

B/B+树是为了磁盘或其它存储设备而设计的一种平衡多路查找树(相对于二叉,B树每个内节点有多个分支),与红黑树相比,在相同的的节点的情况下,一颗B/B+树的高度远远小于红黑树的高度(在下面B/B+树的性能分析中会提到).B/B+树上操作的时间通常由存取磁盘的时间和CPU计算时间这两部分构成,而CPU的速度非常快,所以B树的操作效率取决于访问磁盘的次数,关键字总数相同的情况下B树的高度越小，磁盘I/O所花的时间越少.

B树的性质

• 定义任意非叶子结点最多只有M个儿子；且M>2；

• 根结点的儿子数为[2, M]；

• 除根结点以外的非叶子结点的儿子数为[M/2, M]；

• 每个结点存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1个关键字；（至少2个关键字）

• 非叶子结点的关键字个数=指向儿子的指针个数-1；

• 非叶子结点的关键字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

• 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；

• 所有叶子结点位于同一层；

  
  
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  这里只是一个简单的B树,在实际中B树节点中关键字很多的.上面的图中比如35节点,35代表一个key(索引)，而小黑块代表的是这个key所指向的内容在内存中实际的存储位置.是一个指针.

B+树

B+树是应文件系统所需而产生的一种B树的变形树(文件的目录一级一级索引,只有最底层的叶子节点(文件)保存数据.),非叶子节点只保存索引,不保存实际的数据,数据都保存在叶子节点中.这不就是文件系统文件的查找吗?我们就举个文件查找的例子:有3个文件夹,a,b,c, a包含b,b包含c,一个文件yang.c, a,b,c就是索引(存储在非叶子节点), a,b,c只是要找到的yang.c的key,而实际的数据yang.c存储在叶子节点上.
所有的非叶子节点都可以看成索引部分

B+树的性质(下面提到的都是和B树不相同的性质)

• 非叶子节点的子树指针与关键字个数相同;

• 非叶子节点的子树指针p[i],指向关键字值属于[k[i],k[i+1]]的子树.(B树是开区间,也就是说B树不允许关键字重复,B+树允许重复)；

• 为所有叶子节点增加一个链指针.

• 所有关键字都在叶子节点出现(稠密索引). (且链表中的关键字恰好是有序的);

• 非叶子节点相当于是叶子节点的索引(稀疏索引),叶子节点相当于是存储(关键字)数据的数据层.

• 更适合于文件系统;
  看下图:

  
  
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  非叶子节点(比如5,28,65)只是一个key(索引),实际的数据存在叶子节点上(5,8,9)才是真正的数据或指向真实数据的指针.

应用

B和B+树主要用在文件系统以及数据库做索引.比如Mysql;

B/B+树性能分析

• n个节点的平衡二叉树的高度为H(即logn),而n个节点的B/B+树的高度为log_t((n+1)/2)+1;
• 若要作为内存中的查找表,B树却不一定比平衡二叉树好,尤其当m较大时更是如此.因为查找操作CPU的时间在B-树上是O(mlog_tn)=O(lgn(m/lgt)),而m/lgt>1;所以m较大时O(mlog_tn)比平衡二叉树的操作时间大得多. 因此在内存中使用B树必须取较小的m.（通常取最小值m=3，此时B-树中每个内部结点可以有2或3个孩子，这种3阶的B-树称为2-3树）。

为什么说B+tree比B树更适合实际应用中操作系统的文件索引和数据索引.

• B+-tree的内部节点并没有指向关键字具体信息的指针,因此其内部节点相对B树更小,如果把所有同一内部节点的关键字存放在同一盘块中,那么盘块所能容纳的关键字数量也越多,一次性读入内存的需要查找的关键字也就越多,相对IO读写次数就降低了.
• 由于非终结点并不是最终指向文件内容的结点，而只是叶子结点中关键字的索引。所以任何关键字的查找必须走一条从根结点到叶子结点的路。所有关键字查询的路径长度相同，导致每一个数据的查询效率相当。
  ps:我在知乎上看到有人是这样说的,我感觉说的也挺有道理的:
  他们认为数据库索引采用B+树的主要原因是:B树在提高了IO性能的同时并没有解决元素遍历的我效率低下的问题,正是为了解决这个问题,B+树应用而生.B+树只需要去遍历叶子节点就可以实现整棵树的遍历.而且在数据库中基于范围的查询是非常频繁的，而B树不支持这样的操作（或者说效率太低）.