逆向思维究本质——2021年北京中考数学第28题

逆向思维究本质——2021年北京中考数学第28题

“如果大山不能走向穆罕默德,穆罕默德可以走向大山”,这是著名科幻小说《三体》中,白ice从《古兰经》故事中受到启发,说出的一句台词。

在数学学习中,我们也经常用到这种思维,并称之为逆向思维,例如反证法、执果索因等。通常情况下,正向思维受到较大阻碍,或干扰较多,不妨换个角度,逆向思考问题。成功的逆向思维,其实是建立在正向思维的基础上,正因为遇到障碍,在突破过程中虽然受阻,但大量的尝试并不是无用功,一旦逆向思维突破,问题便迎刃而解。

题目

在平面直角坐标系xOy中,圆O的半径为1,对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到圆O的弦B'C'(B',C'分别是B,C的对应点),则称线段BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图,点A,B1,C1,B2,C2,B3,C3的横纵坐标都是整数,在线段B1C1,B2C2,B3C3中,圆O的以点A为中心的“关联线段”是_____________;

(2)△ABC是边长为1的等边三角形,点A(0,t),其中t≠0,若BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”,求t的值;

(3)在△ABC中,AB=1,AC=2,若BC是圆O的以点A为中心的“关联线段”,直接写出OA的最小值和最大值,以及相应的BC长.

解析:

(1)

我们必须对“关联线段”定义有充分认知,才能顺利完成本题的判断,对于旋转变换,旋转前后,对应点到旋转中心的距离相等,我们不妨观察一下点A到C1,C2,C3的距离,可首先排除掉C1,因为点A与圆O上的点,距离最大为√2+1,显然A点到C1的距离为3,超出了,即无论怎么旋转,点C1都不会落在圆O上;

然后再来观察C2,我们发现,绕点A顺时针旋转90°后,点C2落在圆O上(0,1)处,此时点B2恰好落在圆O上(1,0)处,符合“关联线段”定义;

最后来看C3,旋转后它肯定能落在圆O上,但与此同时,点B3会落在何处呢? 这时我们需要将三个点连接成三角形来看,如下图:

我们通过观察可发现,点B3旋转后的位置相对容易确定,在(0,-1)和(1,0)位置,然后将整个三角形画出来,发现此时点C3并未落在圆O上,不符合“关联线段”定义;

所以符合的只有B2C2;

(2)

本小题中等边△ABC的意义在于确定了点A和BC的相对位置,即点A一定在线段BC的垂直平分线上,抓住这个核心,本小题基本可以“秒”了。

由于点A(0,t)在y轴上,同时也在BC的垂直平分线上,那么线段BC的位置只能平行于x轴,再加上线段BC长度为1,所以只剩下两处,如下图:

在圆O中,弦长等于半径时,弦心距为√3/2,而在等边△ABC中,点A到BC的距离也是√3/2,因此点A到圆心O的距离为√3,即点A坐标为(0,√3)或(0,-√3);

(3)

本小题的△ABC,给出AB=1,AC=2,BC未知,但根据“关联线段”的定义,旋转后B'C'一定是圆O的一条弦,对于点A而言,自由度太大,无法确定,而恰恰因为点A自由度大,所以相应的点B'和点C'的位置也相对自由,之所以说相对,是因为对于点B'和点C',有圆O限制;

圆是中心对称图形,无论弦B'C'位于何处,确定点A的方法是固定的,即分别以点B'和点C'为圆心,作半径分别为1和2的两个圆,两圆交点即为点A;所以我们反过来,按先定B',再限制C',最后寻求点A'的顺序,简称为“定B'限C'索A”;

我们将点B'先“固定”在(-1,0),其余位置也行,方法相同;

点C'在圆O上,分别以B',C'为圆心,作半径为1和2的两个圆,其中一个交点为点A(另一个交点情况完全相同);

现在对于点A而言,它在以B'为圆心,半径为1的圆上,点O反成为圆B'上一点,OA成为圆B'的一条弦,于是最大值为2,如下图:

此时的线段B'C'如何求呢?

我们连接OC'之后,发现△AOC'是一个腰长为2,底边长为1的等腰三角形,过点C'作C'D⊥OA,如下图:

设OD=x,则B'D=1-x,AD=2-x,在Rt△ADC'和Rt△ODC'中分别利用勾股定理得方程:4-(2-x)²=1-x²,解得x=1/4,再利用勾股定理求出C'D=√15/4,最后在Rt△B'C'D中求出B'C'=√6/2;

所以OA最大值为2,相应BC的长为√6/2;

然后我们来探索OA的最小值。

仍然由上图可知,点A在圆B'上,既然圆B'有一部分在圆O内,那么点A可能在圆O上吗?可能在圆O内吗?如果存在,那OA的长一定比点A在圆外时小,那就先试试点A在圆O上吧!

当点A在圆O上时,AC'成为圆O内的一条弦了,又AC'=2,它肯定是圆O的直径,因此△AB'C'是直角三角形,且OA=1,顺利求得B'C'=√3;

若点A在圆O内部,而点C'却始终在圆O上,由于圆O直径为2,显然AC'<2,不可能存在此种情况;

所以OA最小值为1,相应BC的长为√3;

综上:OA最大值为2,相应BC长为√6/2;OA最小值为1,相应BC长为√3.

解题反思

实在没想到,2021年北京中考数学压轴题居然可以“秒”,上述解法中,点A位置并不一定如图所示,也有可能在其它位置,但正如前面分析所说,自由度大,换个位置,计算出来的OA最值和相应的BC长依然相同,事实上,将本题第3小题解析中的B'换个任何位置,再作图,还是这几种情况。

这等于告诉我们,点A在哪,真不重要,点A为什么在那儿,非常重要!

今年北京的新定义,看似线段绕点A旋转,成为圆O的弦,其本质上依然是以弦作为切入点,旋转后就是弦,旋转前管你在哪呢?

对于类似的多动点问题,要抓住其不变量,为什么要固定点B'呢?因为B'C'是圆O的弦,并且存在最大值,这就有了限制,相对于点A,题目关于它的限制几乎没有或者隐藏较深,所以才固定弦的一个端点,当然,如果选择固定点C',方法是一样的。

固定了点B',那么点C'相对固定,毕竟它还在圆上,这样的设置,会减少探索点A位置的困难,因为弦的位置决定了点A的位置,这就是探索的依据。

点与圆的位置关系中,已经明确了点与圆距离的最大值与最小值求法,将它融入到新定义中,极考验学生对数学概念的理解,同时也考查学生的几何直观、几何作图。

显然如果先确定点A再去作△ABC,再去旋转,让B'C'成为圆O的一条弦,想想都无从下笔,这也是“大山不会走向穆罕默德”的原因,所以,我们才需要反其道而行之,从问题的本质出发,主动“向大山走去”。

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