动态规划-区间DP

石子合并(弱化版)

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P1775

设有 N ( N ≤ 300 ) N(N \le 300) N(N300) 堆石子排成一排,其编号为 1 , 2 , 3 , ⋯   , N 1,2,3,\cdots,N 1,2,3,,N。每堆石子有一定的质量 m i ( m i ≤ 1000 ) m_i(m_i \le 1000) mi(mi1000)。现在要将这 N N N 堆石子合并成为一堆。每次只能合并相邻的两堆,合并的代价为这两堆石子的质量之和,合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻。合并时由于选择的顺序不同,合并的总代价也不相同。试找出一种合理的方法,使总的代价最小,并输出最小代价。

输入格式

第一行,一个整数 N N N

第二行, N N N 个整数 m i m_i mi

输出格式

输出文件仅一个整数,也就是最小代价。

样例 #1

样例输入 #1

4
2 5 3 1

样例输出 #1

22

思路( O ( n 3 ) O(n^3) O(n3))

状态表示:f[i][j]表示把从LR合并成一堆的最小代价

状态转移方程:f[L][R]=f[L][k]+f[k+1][R]+s[R]-s[L-1]

状态计算:f[L,R]=min(f[L,R],f[L,k]+f[k+1,R]+s[R]-s[L-1])

初始化:f[i,i]=0其余为正无穷

目标:f[1,n]

注意:s为前缀和数组,k为分割点

代码

#include 

#define int long long
using namespace std;

const int N = 310;
int f[N][N]; //合并i,j所需要的最小代价
int a[N];
int s[N];
int n;

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        f[i][i] = 0;
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
    }
    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
            int r = l + len - 1;
            for (int k = l; k < r; k++) {
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
            }
        }
    }
    cout << f[1][n] << endl;
    return 0;
}

[NOI1995] 石子合并-环形

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P1880

在一个圆形操场的四周摆放 N N N 堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆,规定每次只能选相邻的 2 2 2 堆合并成新的一堆,并将新的一堆的石子数,记为该次合并的得分。

试设计出一个算法,计算出将 N N N 堆石子合并成 1 1 1 堆的最小得分和最大得分。

输入格式

数据的第 1 1 1 行是正整数 N N N,表示有 N N N 堆石子。

2 2 2 行有 N N N 个整数,第 i i i 个整数 a i a_i ai 表示第 i i i 堆石子的个数。

输出格式

输出共 2 2 2 行,第 1 1 1 行为最小得分,第 2 2 2 行为最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

4
4 5 9 4

样例输出 #1

43
54

提示

1 ≤ N ≤ 100 1\leq N\leq 100 1N100 0 ≤ a i ≤ 20 0\leq a_i\leq 20 0ai20

思路

动态规划:
状态表示:f[l][r]表示当前合并的石子堆的大小为len,且石子堆的左端点是l,右端点是r的方案 的max/min

遇到环形的题目:

可以把环拆开,把链延长两倍,变成2n堆,其中ii+n是相同的两堆。

代码

#include 

#define int long long
using namespace std;

const int N = 410;
int a[N], s[N];
int f[N][N], g[N][N];
int n;

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    memset(f, 0x3f, sizeof f), memset(g, -0x3f, sizeof g);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i + n] = a[i];
    }
    for (int i = 1; i <= 2 * n; i++) {
        s[i] = s[i - 1] + a[i];
        g[i][i] = 0, f[i][i] = 0;
    }

    for (int len = 2; len <= n; len++) {
        for (int l = 1; l + len - 1 <= 2 * n; l++) {
            int r = l + len - 1;
            for (int k = l; k < r; k++) {
                f[l][r] = min(f[l][r], f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
                g[l][r] = max(g[l][r], g[l][k] + g[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
            }
        }
    }
    int mi = INT_MAX, mx = -INT_MAX;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        mi = min(mi, f[i][i + n - 1]);
        mx = max(mx, g[i][i + n - 1]);
    }
    cout << mi << "\n" << mx << endl;

    return 0;
}

[NOIP2006 提高组] 能量项链

题目描述

https://www.luogu.com.cn/problem/P1063

在 Mars 星球上,每个 Mars 人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有 N N N 颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是 Mars 人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为 m m m,尾标记为 r r r,后一颗能量珠的头标记为 r r r,尾标记为 n n n,则聚合后释放的能量为 m × r × n m \times r \times n m×r×n(Mars 单位),新产生的珠子的头标记为 m m m,尾标记为 n n n

需要时,Mars 人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。

例如:设 N = 4 N=4 N=4 4 4 4 颗珠子的头标记与尾标记依次为 ( 2 , 3 ) ( 3 , 5 ) ( 5 , 10 ) ( 10 , 2 ) (2,3)(3,5)(5,10)(10,2) (2,3)(3,5)(5,10)(10,2)。我们用记号 ⊕ \oplus 表示两颗珠子的聚合操作, ( j ⊕ k ) (j \oplus k) (jk) 表示第 j , k j,k j,k 两颗珠子聚合后所释放的能量。则第 4 4 4 1 1 1 两颗珠子聚合后释放的能量为:

( 4 ⊕ 1 ) = 10 × 2 × 3 = 60 (4 \oplus 1)=10 \times 2 \times 3=60 (41)=10×2×3=60

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为:

( ( ( 4 ⊕ 1 ) ⊕ 2 ) ⊕ 3 ) = 10 × 2 × 3 + 10 × 3 × 5 + 10 × 5 × 10 = 710 (((4 \oplus 1) \oplus 2) \oplus 3)=10 \times 2 \times 3+10 \times 3 \times 5+10 \times 5 \times 10=710 (((41)2)3)=10×2×3+10×3×5+10×5×10=710

输入格式

第一行是一个正整数 N N N 4 ≤ N ≤ 100 4 \le N \le 100 4N100),表示项链上珠子的个数。第二行是 N N N 个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过 1000 1000 1000。第 i i i 个数为第 i i i 颗珠子的头标记( 1 ≤ i ≤ N 1 \le i \le N 1iN),当 i < N ii<N 时,第 i i i 颗珠子的尾标记应该等于第 i + 1 i+1 i+1 颗珠子的头标记。第 N N N 颗珠子的尾标记应该等于第 1 1 1 颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式

一个正整数 E E E E ≤ 2.1 × 1 0 9 E\le 2.1 \times 10^9 E2.1×109),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

样例 #1

样例输入 #1

4
2 3 5 10

样例输出 #1

710

思路

环形转换为链型:复制一遍数组,转化为长度为2n的数组。

思路与上面一样,这里长度需要从3开始枚举,最大到n+1,因为可以把首位也合并

代码

#include 

#define int long long
using namespace std;

const int N = 210;
int n;
int a[N];
int f[N][N];

signed main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("test.in", "r", stdin);
    freopen("test.out", "w", stdout);
#endif
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        a[i + n] = a[i];
    }

    for (int len = 3; len <= n + 1; len++) {
        for (int l = 1; l + len - 1 <= 2 * n; l++) {
            int r = l + len - 1;
            for (int k = l + 1; k < r; k++) {
                f[l][r] = max(f[l][r], f[l][k] + f[k][r] + a[l] * a[k] * a[r]);
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) res = max(res, f[i][i + n]);
    cout << res << endl;

    return 0;
}

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