求根号2的小数点后10000位,字节面试题随想

起因

昨天在群里有一个小伙伴发了一道字节后端的面试题, 题干是要求$\sqrt{2}$的小数点后10000位, 经过自己的一些直观思考和网上查阅资料后, 大致有如下3种方案, 由于很多语言里的小数精度都达不到10^(-10000)级别, 所以这题目我们简化到小数点后6位吧

方法一, 直观的二分法

假设给的数字为n, 可以设置左边界为0, 右边界为n, 取mid = (0 + n) / 2, 如果mid² 小于n, 令左边界为mid, 否则有边界为mid, 终结循环的条件是左右边界的差小于精度的阈值(right - left < threshold), 简单的代码如下:

double getSqrt(int n, double threshold)
	double left = 0, right = n;
	while ( right - left > threshold){
		double mid = (left + right) / 2;
		if (mid * mid == n) return mid;
		else if (mid * mid < n) left = mid;
		else right = mid; 
	} 
	return left;

逻辑比较简单, 就不作过多注释了

方法二, 牛顿迭代法

牛顿迭代法理论上是可以求出绝大多数多项式的根(最低要求是该函数二阶可导, 这一点不是本文讨论的范畴, 于是略过), 大体的思想如下:
已知曲线方程f(x), 要求方程的根, 在$x_n$处作切线, 求$x_{n+1}$, 这里的$x_n$是迭代过程中某一个解, 最初的解可以任意设置, 不过尽量准确会比较好.
通过求导易得$x_n$的切线方程为$f$($x_n$) + $f^{\prime }$($x_n$)($x$-$x_n$),
化简可以求出 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$
那么就可以不断地迭代这一过程, 终止条件就是$x_n-x_{n+1}<threshold$
对于本题来说, $f(x)=x^2-n$, 对应的$f^{\prime }(x)=2x$, 因此代码如下

double getSqrtNt(double n, double threshold){
	doulbe x_n1 = n / 2;  //起始点设置, 这是我随便写的一个, 可以有更好的方法
	double x_n = n;
	while (abs(x_n1 - x_n) > threshold){
		x_n = x_n1;
		x_n1 = xn - (xn * xn - n)/(2 * xn)
	}
	return xn;
}

方法三, 连分数法, 适用于手算

其实这个方法本质上跟牛顿迭代法一样, 对于导数不太熟练的同学可以适用这种方法, 并且这个方法的条件比较苛刻, 有两点

1. 仅适用开平方
2. 被开方数为正整数
   步骤如下, 要求$\sqrt{s}$, 先将其分解为 $s=a^2+b$, 其中$a^2>>b$, 然后根据要求的精度
   $\sqrt{s}=a+\frac{b}{2a+\frac{b}{2a+...}}$
   举个例子, 求150的开方, 首先找到$150=12\ast 12+6$

• 求一阶的情况, $\sqrt{150}=12$
• 第二阶, $\sqrt{150}=12+6/24=12.25$, 此时精度更高了一些
• 第三阶, $\sqrt{150}=12+6/(24+(6/24))=12.2474$, 更高了一些
• … 越深精度越高
  查询计算器的$\sqrt{150}$的值为12.24744, 已经很接近我们的答案了
  证明的方法也很简单, 在后面笔者会贴上李永乐老师相关的证明

References

[1]如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法求开方？数值分析？ - 马同学的回答 - 知乎
[2]如何手算开平方？学会这个你又能跟小伙伴炫耀了！