2023年第十五届华中杯赛题B 题 小学数学应用题相似性度量及难度评估

B 题 小学数学应用题相似性度量及难度评估

某 MOOC 在线教育平台希望能够进行个性化教学，实现用户自主学习。在用户学习 时，系统从题库中随机抽取若干道与例题同步的随堂测试题，记录、分析学生的学习和答 题信息，并且课后会自动生成作业题(或练习题)。此外，系统还能够定期回溯学生的易 错题所涉及的内容，自动推荐题型相似、难度有层次的其他题目供用户进行拓展练习。为 实现这样的功能，如何度量题目之间的相似性，如何评估题目的难度，是该产品要解决的 关键问题。
以小学数学应用题 1 为例，度量题目之间相似性的依据主要有以下两种：

题干文字。这种方法一般只能找到与题干文字相近的题目作为相似题目。但是，有些
题目的题干文字相似，而关键字词不同，题意差异较大；有些问题的背景可能毫无关 联，题干文字也几乎不同，而题目的解题思路与方法技巧却完全相同。因此，这种方 法效果有限。

事先标注题目的知识点等信息。这种方法的推荐效果取决于知识点的划分方式和粒度。
知识点划分太粗，推荐结果可能与例题或用户的易错题差别太大；知识点划分太细， 推荐结果可能太单一。两种情况下都无法真正达到拓展练习的目的。
评估题目难度的常见做法主要有以下两种 2：

根据考试的类型确定。比如，数学竞赛的试题一般比某个小学期末考试题目难。

教师根据经验主观判断。
上述判断题目相似性和评估难度的做法都有明显的局限性。该公司聘请你们团队尝试 解决这些问题。 以小学数学应用题为例，具体任务如下：
1. 设计刻画两道小学数学应用题之间相似性的度量方法。
2. 建立评估小学数学应用题难度的数学模型。
3. 附件 1 是一个示例题库，包含 100 道应用题。请将附件 1 中的题目，按相似性或难度 分类(不限制某一道题目只能属于一个分类)。如果某道题目没有相似题目，可以单 独成一类。评估算法的复杂度，能否适用于更大规模的题库。

4. 附件 2 中包含 10 道题目，请使用上述模型或方法分析这些题目的难度，并对于其中的 每一道题目， 在附件 1 中找出最相似的一道或若干道题目(没有相似题目可写“无) ”。 评估算法的复杂度，能否适用于更大规模的题库。

注 1 ：题目所述小学数学应用题，是指以四则运算为主要求解方法，有一定实际背景的问 题。

注 2 ：教学中还有一种确定题目难度的常见做法，即根据题目的实际得分率来定义题目的 难度。但是，题目的实际得分率不仅与学生考前的学习情况有关，还与很多“非技术”因素 有关，比如题目所用的词语、句型、语态，甚至是题目在试卷中出现的先后顺序等等；实 际的得分率也只能通过采集真实的试卷信息获得，工作量大。因此，本题所关心的是题目 的“技术”难度，不考虑实际的得分率。

附件说明：

1. 附件 1 为 CSV 格式文件，无标题行，共 2 列 100 行。第一列为题目编号， 形如“P001”、 “P002”等。第二列为题目内容。

2. 附件 2 为 CSV 格式文件，无标题行，共 2 列 10 行。第一列为题目编号， 形如“Q001”、 “Q002”等。第二列为题目内容。