C++AVL树
目录：
- AVL树的概念
-
- AVL树节点的定义
-
- 更新平衡因子
- AVL树的旋转
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- AVL树的验证
-
- AVL的整体实现
- AVL树的删除
- AVL树的性能
- 总结
AVL树的概念
AVL树：二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。
特性：
1.它的左右子树都是AVL树
2.左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1）
图中我们可以看到平衡因子等于右子树的高度减左子树的高度，比如节点3的平衡因子就是1-2=-1,所以节点3的平衡因子就是-1。
AVL树节点的定义
template<class k , class v>
struct AVLTreeNode
{
pair<k, v> _kv;
AVLTreeNode<k, v>* _left;
AVLTreeNode<k, v>* _right;
AVLTreeNode<k, v>* _parent;
int _bf;//balance factor
//成员初值列
AVLTreeNode(const pair<k, v>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
,_bf(0)//上面的平衡因子受到下面影响，所以初始化为0
{}
};
更新平衡因子
先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中， 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否破坏了AVL树 的平衡性。调整的话就是左边插入一个节点，平衡因子减减；右边插入，平衡因子就要加加，但新节点插入后，平衡因子可能存在三种情况：
- 如果parent的平衡因子为0，说明插入之前parent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足 AVL树的性质，插入成功。
- 如果parent的平衡因子为正负1，说明插入前parent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此时以parent为根的树的高度增加，需要继续向上更新。
- 如果parent的平衡因子为正负2，则parent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理。
AVL树的旋转
如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。
旋转的目的：
一.让这颗子树的高度差不超过1
二.旋转过程在保持它是搜索树
三.更新调整孩子的平衡因子
四.降低这颗子树的高度跟插入前保持一致
根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：
1.新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋
通过上面的抽象图我们看到a/b/c是高度为h的AVL树,c插入节点后，导致高度变化为h+1，右边就高了需要往左边压，就会发生左单转。
左单旋的旋转规则是：节点60的左边b调整到节点30的右边，节点30变成节点60的左边，原来节点30是根，现在节点60是根。为什么这样调整呢？这也是根据二叉树的性质来调整的，旋转前，节点30的右子树一定都大于它，节点60的左子树一定都小于节点60，这样调整也合理，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
代码如下：
void RotateL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if(subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* ppNode = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (ppNode==nullptr)
{
_root = subR;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subR;
}
else
{
ppNode->_right = subR;
}
subR->_parent = ppNode;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;//最后更新平衡因子
}
- 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋
通过上面的抽象图我们看到a/b/c是高度为h的AVL树,a插入节点后，导致高度变化为h+1，左边就高了需要往右边压，就会发生右单转。
右单旋的旋转规则是：节点b变成节点60的左边，节点60变成节点30的右边，原来节点60是根，现在节点30是根，为什么这样调整呢?目的二我们要保证这是一颗搜索数，节点b比节点30大比节点60小，节点60又比节点30大，这样调整也合理，不会破坏这棵树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。
代码如下：
void RotateR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
parent->_left = subLR;
if (subLR)
{
subLR->_parent = parent;
}
Node* ppNode = _parent;
subL->_right = parent;
parent->_parent = subL;
if (_root==parent)
{
_root = subL;//sybL是根
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
if (ppNode->_left == parent)
{
ppNode->_left = subL;
}
else
{
ppNode->_right = subL;
}
subL->_parent = ppNode;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
- 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋
通过上面的抽象图我们看到a/d为高度h的AVL树，b/c为高度h-1的AVL树，假设节点b是新增的一个节点，单旋的时候我们的AVL树结构像是一条直线，比较好控制平衡，现在这棵树更像是一条折现，这种情况就需要进行双旋，也就是通过两次旋转来调整平衡。
左右旋转的旋转规则是：第一次节点30为轴点进行一个左单旋，节点b变成30的右边，节点30变成节点60的左边，节点60变成子树的根，第二次节点90为轴点进行一个右单旋，节点c变成节点90的左边，节点90变成节点60的右边，节点60变成子树的根，这个根才是我们旋转两次后得到的这颗子树的根。
这种情况复杂一些，思路就是将双旋变成单旋后再旋转，即：先对节点30进行左单旋，然后再对节点90进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。双旋的平衡因子更新比较麻烦，又要分三种情况，注意这里是旋转完后平衡因子的更新，旋转完后的图我就不一一画了，我把旋转之前的图一一画出来供大家参考！
第一种：旋转之前，如果是节点b插入，那么节点60的平衡因子就是-1。
第二种：如果是节点c插入那么节点60的平衡因子就是1。
第三种：节点60自己就是新增，它的平衡因子就是0。
代码如下：
void RotateLR(Node* parent)//左右双旋
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
if (bf == -1) // subLR左子树新增
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1) // subLR右子树新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0) // subLR自己就是新增
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
- 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋
思路和左右双旋差不多，原理都是一样的，结合抽象图，新增节点后，也是分三种情况:
第一种：旋转之前，如果是节点b插入，那么节点60的平衡因子就是-1。
第二种：旋转之前，如果是节点c插入，那么节点60的平衡因子就是1。
第三种：节点60自己就是新增，它的平衡因子就是0。
代码如下：
void RotateRL(Node* parent)//右左双旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
AVL树的验证
AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
- 验证其为二叉搜索树：
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树。
void Inorder()
{
_Inorder(_root);
}
void _Inorder(Node* root)//中序的子函数
{
if (root == nullptr)
return;
_Inorder(root->_left);
cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
_Inorder(root->_right);
}
- 验证其为平衡树：
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)节点的平衡因子是否计算正确。
bool IsBalance()
{
return IsBalance(_root);
}
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
{
return true;
}
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
return false;
}
return abs(rightHeight - leftHeight) <=1
&& IsBalance(root->_left)
&& IsBalance(root->_right);
}
- 验证用例
像这种树型结构我们最好自己动手画AVL树的创建过程并验证代码是否有漏洞。
常规场景1
{16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15}
特殊场景2
{4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14}
我这里写了一个随机种子来验证，我们知道size_t最大可能开辟的数组尺寸是2^64,这里随机给100000个数：
AVL的整体实现
这是我AVLTree.h的代码：
#pragma once
#include t;
// for (auto e : a)
// {
// t.Insert(make_pair(e, e));
// }
//
// t.Inorder();
//
// cout << t.IsBalance() << endl;
//}
void TestAVLTree()
{
srand(time(0));
const size_t N = 100000;
AVLTree<int, int> t;
for (size_t i = 0; i < N; ++i)
{
size_t x = rand();
t.Insert(make_pair(x, x));
//cout << t.IsBalance() << endl;
}
//t.Inorder();
cout << t.IsBalance() << endl;
}
运行一下：
bool返回值是1，说明我们的测试用例没有问题！
AVL树的删除
AVL树的插入有了，那么删除呢？有的伙伴可能会问，因为AVL树也是二叉搜索树，可按照二叉搜索树的方式将节点删除，然后再更新平衡因子，只不过与删除不同的时，删除节点后要对平衡因子更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体实现可参考《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版。
AVL树的性能
AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2(N)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操
作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，
有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数
据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。
总结
假如以parent为根的子树不平衡，即parent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑
- parent的平衡因子为2，说明parent的右子树高，设parent的右子树的根为subR
当subR的平衡因子为1时，执行左单旋。
当subR的平衡因子为-1时，执行右左双旋。 - parent的平衡因子为-2，说明parent的左子树高，设parent的左子树的根为subL
当subL的平衡因子为-1是，执行右单旋。
当subL的平衡因子为1时，执行左右双旋。
旋转完成后，原parent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。
这就是AVL树，下面我们将继续学习红黑树，记得三连哦，小佳会更新更多干货！！！