R语言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,随机波动率SV模型对金融时间序列数据建模

原文链接:http://tecdat.cn/?p=20015 

本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型,特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。

均值模型

本节探讨条件均值模型。

iid模型

我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列:

均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值

和样本协方差矩阵

我们从生成数据开始,熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果(即完整性检查)。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。

让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵:

# 生成综合收益数据X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)# 样本估计(样本均值和样本协方差矩阵)mu\_sm <- colMeans(X)Sigma\_scm <- cov(X)# 误差norm(mu\_sm     - mu, "2")#> \[1\] 2.44norm(Sigma\_scm - Sigma, "F")#> \[1\] 70.79

现在,让我们针对不同数量的观测值T再做一次:

# 首先生成所有数据X <- rmvnorm(n = T\_max, mean = mu, sigma = Sigma)# 现在遍历样本的子集for (T\_ in T\_sweep) {  # 样本估算  mu\_sm <- colMeans(X_)  Sigma\_scm <- cov(X\_)  # 计算误差  error\_mu\_vs\_T    <- c(error\_mu\_vs\_T,    norm(mu\_sm     - mu, "2"))  error\_Sigma\_vs\_T <- c(error\_Sigma\_vs\_T, norm(Sigma\_scm - Sigma, "F"))# 绘图plot(T\_sweep, error\_mu\_vs\_T,      main = "mu估计误差",

plot(T\_sweep, error\_Sigma\_vs\_T     main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"

单变量ARMA模型

对数收益率xt上的ARMA(p,q)模型是

其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi,θi和噪声方差σ2。

请注意,ARIMA(p,d,q)模型是时间差分为d阶的ARMA(p,q)模型。因此,如果我们用xt代替对数价格,那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA(p,1,q)模型,因为一旦对数价格差分,我们就获得对数收益。

rugarch生成数据 

我们将使用rugarch包  生成单变量ARMA数据,估计参数并进行预测。

首先,我们需要定义模型:

# 指定具有给定系数和参数的AR(1)模型#> #> *----------------------------------*#> *       ARFIMA Model Spec          *#> *----------------------------------*#> Conditional Mean Dynamics#> ------------------------------------#> Mean Model           : ARFIMA(1,0,0)#> Include Mean     : TRUE #> #> Conditional Distribution#> ------------------------------------#> Distribution :  norm #> Includes Skew    :  FALSE #> Includes Shape   :  FALSE #> Includes Lambda  :  FALSE#>          Level Fixed Include Estimate LB UB#> mu        0.01     1       1        0 NA NA#> ar1      -0.90     1       1        0 NA NA#> ma        0.00     0       0        0 NA NA#> arfima    0.00     0       0        0 NA NA#> archm     0.00     0       0        0 NA NA#> mxreg     0.00     0       0        0 NA NA#> sigma     0.20     1       1        0 NA NA#> alpha     0.00     0       0        0 NA NA#> beta      0.00     0       0        0 NA NA#> gamma     0.00     0       0        0 NA NA#> eta1      0.00     0       0        0 NA NA#> eta2      0.00     0       0        0 NA NA#> delta     0.00     0       0        0 NA NA#> lambda    0.00     0       0        0 NA NA#> vxreg     0.00     0       0        0 NA NA#> skew      0.00     0       0        0 NA NA#> shape     0.00     0       0        0 NA NA#> ghlambda  0.00     0       0        0 NA NA#> xi        0.00     0       0        0 NA NAfixed.pars#> $mu#> \[1\] 0.01#> #> $ar1#> \[1\] -0.9#> #> $sigma#> \[1\] 0.2true_params#>    mu   ar1 sigma #>  0.01 -0.90  0.20

然后,我们可以生成时间序列:

# 模拟一条路径apath(spec, n.sim = T)# 转换为xts并绘图plot(synth\_log\_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"plot(synth\_log\_prices, main = "ARMA模型的对数价格"

ARMA模型

现在,我们可以估计参数(我们已经知道):

# 指定AR(1)模型arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 估计模型#>           mu          ar1        sigma #>       0.0083      -0.8887       0.1987#>    mu   ar1 sigma #>  0.01 -0.90  0.20

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响:

# 循环for (T_ in T\_sweep) {  estim\_coeffs\_vs\_T <- rbind(estim\_coeffs\_vs\_T, coef(arma\_fit))  error\_coeffs\_vs\_T <- rbind(error\_coeffs\_vs\_T, abs(coef(arma\_fit) - true\_params)/true\_params)# 绘图matplot(T\_sweep, estim\_coeffs\_vs_T,         main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",

matplot(T\_sweep, 100*error\_coeffs\_vs\_T,         main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

首先,真正的μ几乎为零,因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后,其他系数得到了很好的估计。

ARMA预测

为了进行健全性检查,我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果

# 指定具有给定系数和参数的AR(1)模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),                              fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))# 生成长度为1000的序列arfima(arma\_fixed\_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim# 使用 rugarch包指定和拟合模型spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))# 使用包“ forecast”拟合模型#> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean #> #> Coefficients:#>           ar1    mean#>       -0.8982  0.0036#> s.e.   0.0139  0.0017#> #> sigma^2 estimated as 0.01004:  log likelihood=881.6#> AIC=-1757.2   AICc=-1757.17   BIC=-1742.47# 比较模型系数#>          ar1    intercept        sigma #> -0.898181148  0.003574781  0.100222964#>           mu          ar1        sigma #>  0.003605805 -0.898750138  0.100199956

确实,这两个软件包给出了相同的结果。

ARMA模型选择 

在先前的实验中,我们假设我们知道ARMA模型的阶数,即p = 1和q = 0。实际上,阶数是未知的,因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高,拟合越好,但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合,例如AIC,BIC,SIC,HQIC等。

# 尝试不同的组合# 查看排名#>    AR MA Mean ARFIMA         BIC converged#> 1   1  0    1      0 -0.38249098         1#> 2   1  1    1      0 -0.37883157         1#> 3   2  0    1      0 -0.37736340         1#> 4   1  2    1      0 -0.37503980         1#> 5   2  1    1      0 -0.37459177         1#> 6   3  0    1      0 -0.37164609         1#> 7   1  3    1      0 -0.37143480         1#> 8   2  2    1      0 -0.37107841         1#> 9   3  1    1      0 -0.36795491         1#> 10  2  3    1      0 -0.36732669         1#> 11  3  2    1      0 -0.36379209         1#> 12  3  3    1      0 -0.36058264         1#> 13  0  3    1      0 -0.11875575         1#> 14  0  2    1      0  0.02957266         1#> 15  0  1    1      0  0.39326050         1#> 16  0  0    1      0  1.17294875         1#选最好的armaOrder#> AR MA #>  1  0

在这种情况下,由于观察次数T = 1000足够大,因此阶数被正确地检测到。相反,如果尝试使用T = 200,则检测到的阶数为p = 1,q = 3。

ARMA预测 

一旦估计了ARMA模型参数ϕi  ^ i和θ^j,就可以使用该模型预测未来的值。例如,根据过去的信息对xt的预测是

并且预测误差将为xt-x ^ t = wt(假设参数已被估计),其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单:

# 估计模型(不包括样本外)coef(arma\_fit)#>           mu          ar1        sigma #>  0.007212069 -0.898745183  0.200400119# 整个样本外的预测对数收益forecast\_log\_returns <- xts(arma\_fore@forecast$seriesFor\[1, \], dates\_out\_of\_sample)# 恢复对数价格prev\_log\_price <- head(tail(synth\_log\_prices, out\_of\_sample+1), out\_of\_sample)# 对数收益图plot(cbind("fitted"   = fitted(arma\_fit),# 对数价格图plot(cbind("forecast" = forecast\_log\_prices,     main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")

多元VARMA模型

对数收益率xt上的VARMA(p,q)模型是

其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0,Φi,Θj和噪声协方差矩阵Σw。

比较

让我们首先加载S&P500:

# 加载标普500数据head(SP500\_index\_prices)#>              SP500#> 2012-01-03 1277.06#> 2012-01-04 1277.30#> 2012-01-05 1281.06#> 2012-01-06 1277.81#> 2012-01-09 1280.70#> 2012-01-10 1292.08# 准备训练和测试数据logreturns\_trn <- logreturns\[1:T\_trn\]logreturns\_tst <- logreturns\[-c(1:T\_trn)\]# 绘图{ plot(logreturns,   addEventLines(xts("训练"

现在,我们使用训练数据(即,对于t = 1,…,Ttrnt = 1,…,Ttrn)来拟合不同的模型(请注意,通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst)。特别是,我们将考虑iid模型,AR模型,ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型(稍后将对方差建模进行更详细的研究)。

# 拟合i.i.d.模型 coef(iid\_fit)#>           mu        sigma #> 0.0005712982 0.0073516993mean(logreturns\_trn)#> \[1\] 0.0005681388sd(logreturns\_trn)#> \[1\] 0.007360208# 拟合AR(1)模型coef(ar\_fit)#>            mu           ar1         sigma #>  0.0005678014 -0.0220185181  0.0073532716# 拟合ARMA(2,2)模型coef(arma\_fit)#>            mu           ar1           ar2           ma1           ma2         sigma #>  0.0007223304  0.0268612636  0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211  0.0072573570# 拟合ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型coef(arch\_fit)#>            mu           ar1           ma1         omega        alpha1 #>  6.321441e-04  8.720929e-02 -9.391019e-02  4.898885e-05  9.986975e-02#拟合ARMA(0,0)+ARCH(10)模型coef(long\_arch\_fit)#>           mu        omega       alpha1       alpha2       alpha3       alpha4       alpha5 #> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02 #>       alpha6       alpha7       alpha8       alpha9      alpha10 #> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06# 拟合ARMA(1,1)+GARCH(1,1)模型coef(garch_fit)#>            mu           ar1           ma1         omega        alpha1         beta1 #>  6.660346e-04  9.664597e-01 -1.000000e+00  7.066506e-06  1.257786e-01  7.470725e-01

我们使用不同的模型来预测对数收益率:

# 准备预测样本外周期的对数收益# i.i.d.模型预测forecast(iid\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1)                           dates\_out\_of\_sample)# AR(1)模型进行预测forecast(ar\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1)                          dates\_out\_of\_sample)# ARMA(2,2)模型进行预测forecast(arma\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1)                            dates\_out\_of\_sample)# 使用ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型进行预测forecast(arch\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1)                            dates\_out\_of\_sample)# ARMA(0,0)+ARCH(10)模型预测forecast(long\_arch\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1)                                 dates\_out\_of\_sample)# ARMA(1,1)+GARCH(1,1)模型预测forecast(garch\_fit, n.ahead = 1, n.roll = T\_tst - 1)                             dates\_out\_of_sample)

我们可以计算不同模型的预测误差(样本内和样本外):

print(error_var)#>                           in-sample out-of-sample#> iid                    5.417266e-05  8.975710e-05#> AR(1)                  5.414645e-05  9.006139e-05#> ARMA(2,2)              5.265204e-05  1.353213e-04#> ARMA(1,1) + ARCH(1)    5.415836e-05  8.983266e-05#> ARCH(10)               5.417266e-05  8.975710e-05#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05  9.244012e-05

我们可以观察到,随着模型复杂度的增加,样本内误差趋于变小(由于拟合数据的自由度更高),尽管差异可以忽略不计。重要的实际上是样本外误差:我们可以看到,增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言,似乎最简单的iid模型已经足够了。

最后,让我们展示一些样本外误差的图表:

plot(error,     main = "不同模型收益预测的样本外误差",

请注意,由于我们没有重新拟合模型,因此随着时间的发展,误差越大(对于ARCH建模尤其明显)。

滚动窗口比较

让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念:

#ARMA(2,2)模型spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))# 静态拟合和预测ar\_static\_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T\_tst)#滚动拟合和预测modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1, # 预测图plot(cbind("static forecast"  = ar\_static\_fore\_logreturns,     main = "使用ARMA(2,2)模型进行预测", legend.loc = "topleft")# 预测误差图plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,     main = "ARMA(2,2)模型的预测误差", legend.loc = "topleft")

我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。

现在,我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测:

# 基于i.i.d.模型的滚动预测roll(iid\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_t# AR(1)模型的滚动预测roll(ar\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst, # ARMA(2,2)模型的滚动预测roll(arma\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst, # ARMA(1,1)+ ARCH(1)模型的滚动预测roll(arch\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst,                                                refit.every = 50, refit.win# ARMA(0,0)+ ARCH(10)模型的滚动预测roll(long\_arch\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T\_tst,                                                     refit.every = 50, # ARMA(1,1)+ GARCH(1,1)模型的滚动预测roll(garch\_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,                                                 refit.every = 50, refit.window

让我们看看滚动基准情况下的预测误差:

print(rolling\_error\_var)#>                           in-sample out-of-sample#> iid                    5.417266e-05  8.974166e-05#> AR(1)                  5.414645e-05  9.038057e-05#> ARMA(2,2)              5.265204e-05  8.924223e-05#> ARMA(1,1) + ARCH(1)    5.415836e-05  8.991902e-05#> ARCH(10)               5.417266e-05  8.976736e-05#> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05  8.895682e-05

和一些图表:

plot(error_logreturns,      main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"

我们看到,现在所有模型都拟合了时间序列。此外,我们在模型之间没有发现任何显着差异。

我们最终可以比较静态误差和滚动误差:

barplot(rbind(error\_var\[, "out-of-sample"\], rolling\_error_var\[, "out-of-sample"\])        col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),         legend = c("静态预测", "滚动预测"),

我们可以看到,滚动预测在某些情况下是必须的。因此,实际上,我们需要定期进行滚动预测改进。

方差模型

ARCH和GARCH模型

对数收益率残差wt的ARCH(m)模型为

其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列,而条件方差σ2t建模为

其中,m为模型阶数,ω> 0,αi≥0为参数。

GARCH(m,s)模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型:

其中参数ω\> 0,αi≥0,βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。

rugarch生成数据 

首先,我们需要定义模型:

# 指定具有给定系数和参数的GARCH模型#> #> *---------------------------------*#> *       GARCH Model Spec          *#> *---------------------------------*#> #> Conditional Variance Dynamics    #> ------------------------------------#> GARCH Model      : sGARCH(1,1)#> Variance Targeting   : FALSE #> #> Conditional Mean Dynamics#> ------------------------------------#> Mean Model       : ARFIMA(1,0,0)#> Include Mean     : TRUE #> GARCH-in-Mean        : FALSE #> #> Conditional Distribution#> ------------------------------------#> Distribution :  norm #> Includes Skew    :  FALSE #> Includes Shape   :  FALSE #> Includes Lambda  :  FALSE#>           Level Fixed Include Estimate LB UB#> mu        0.005     1       1        0 NA NA#> ar1      -0.900     1       1        0 NA NA#> ma        0.000     0       0        0 NA NA#> arfima    0.000     0       0        0 NA NA#> archm     0.000     0       0        0 NA NA#> mxreg     0.000     0       0        0 NA NA#> omega     0.001     1       1        0 NA NA#> alpha1    0.300     1       1        0 NA NA#> beta1     0.650     1       1        0 NA NA#> gamma     0.000     0       0        0 NA NA#> eta1      0.000     0       0        0 NA NA#> eta2      0.000     0       0        0 NA NA#> delta     0.000     0       0        0 NA NA#> lambda    0.000     0       0        0 NA NA#> vxreg     0.000     0       0        0 NA NA#> skew      0.000     0       0        0 NA NA#> shape     0.000     0       0        0 NA NA#> ghlambda  0.000     0       0        0 NA NA#> xi        0.000     0       0        0 NA NA#> $mu#> \[1\] 0.005#> #> $ar1#> \[1\] -0.9#> #> $omega#> \[1\] 0.001#> #> $alpha1#> \[1\] 0.3#> #> $beta1#> \[1\] 0.65true_params#>     mu    ar1  omega alpha1  beta1 #>  0.005 -0.900  0.001  0.300  0.650

然后,我们可以生成收益率时间序列:

# 模拟一条路径hpath(garch\_spec, n.sim = T)#>  num \[1:2000, 1\] 0.167 -0.217 # 绘图对数收益{ plot(synth\_log\_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5)  lines(synth\_volatility

GARCH

现在,我们可以估计参数:

# 指定一个GARCH模型ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)# 估计模型coef(garch_fit)#>            mu           ar1         omega        alpha1         beta1 #>  0.0036510100 -0.8902333595  0.0008811434  0.2810460728  0.6717486402#>     mu    ar1  omega alpha1  beta1 #>  0.005 -0.900  0.001  0.300  0.650# 系数误差#>           mu          ar1        omega       alpha1        beta1 #> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响:

# 循环for (T_ in T\_sweep) {  garch\_fit   error\_coeffs\_vs\_T <- rbind(error\_coeffs\_vs\_T, abs((coef(garch\_fit) - true\_params)/true\_params))  estim\_coeffs\_vs\_T <- rbind(estim\_coeffs\_vs\_T, coef(garch\_fit))# 绘图matplot(T\_sweep, 100*error\_coeffs\_vs\_T,         main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

真实的ω几乎为零,因此误差非常不稳定。至于其他系数,就像在ARMA情况下一样,μ的估计确实很差(相对误差超过50%),而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。

GARCH结果比较 

作为健全性检查,我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果

# 指定具有特定参数值的ARMA(0,0)-GARCH(1,1)作为数据生成过程garch\_spec #生成长度为1000的数据path(garch\_fixed\_spec, n.sim = 1000)@path$# 使用“ rugarch”包指定和拟合模型rugarch\_fit <- ugarchfit(spec = garch\_spec, data = x)# 使用包“ fGarch”拟合模型garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)# 比较模型系数#>         mu      omega     alpha1      beta1 #> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595#>         mu      omega     alpha1      beta1 #> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658# 比较拟合的标准偏差print(head(fGarch\_fi#> \[1\] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994print(head(rugar#> \[1\] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555

确实,这两个软件包给出了相同的结果。

使用rugarch包进行GARCH预测 

一旦估计出GARCH模型的参数,就可以使用该模型预测未来的值。例如,基于过去的信息对条件方差的单步预测为

给定ω^ /(1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j)。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单:

# 估计模型,不包括样本外garch\_fit coef(garch\_fit)#>            mu           ar1         omega        alpha1         beta1 #>  0.0034964331 -0.8996287630  0.0006531088  0.3058756796  0.6815452241# 预测整个样本的对数收益garch\_fore@forecast$sigmaFor\[1, \]# 对数收益图plot(cbind("fitted"   = fitted(garch\_fit),     main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")

#波动率对数收益图plot(cbind("fitted volatility"   = sigma(garch_fit),     main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")

不同方法

让我们首先加载S&P500:

# 加载标准普尔500指数数据head(SP500\_index\_prices)#>              SP500#> 2008-01-02 1447.16#> 2008-01-03 1447.16#> 2008-01-04 1411.63#> 2008-01-07 1416.18#> 2008-01-08 1390.19#> 2008-01-09 1409.13# 准备训练和测试数据x\_trn <- x\[1:T\_trn\]x\_tst <- x\[-c(1:T\_trn)\]# 绘图{ plot(x, main = "收益"  addEventLines(xts("训练", in

常数

让我们从常数开始:

plot(cbind(sqrt(var\_constant), x\_trn)     main = "常数")

移动平均值

现在,让我们使用平方收益的移动平均值:

plot(cbind(sqrt(var\_t), x\_trn),      main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)

EWMA

指数加权移动平均线(EWMA):

请注意,这也可以建模为ETS(A,N,N)状态空间模型:

plot(cbind(std\_t, x\_trn),      main = "基于平方EWMA的包络")

乘法ETS

我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如,具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS(M,N,N):

plot(cbind(std\_t, x\_trn), col = c("red", "black")     main = "基于平方的ETS(M,N,N)的包络"

ARCH

现在,我们可以使用更复杂的ARCH建模:

plot(cbind(std\_t, x\_trn), col = c("red", "black")     main = "基于ARCH(5)的包络")

GARCH

我们可以将模型提升到GARCH:

plot(cbind(std\_t, x\_trn), col = c("red", "black")     main = "基于GARCH(1,1)的包络")

SV随机波动率

最后,我们可以使用随机波动率建模:

或者,等效地,

plot(cbind(std\_t, x\_trn), col = c("red", "black"),     main = "基于随机波动率的包络分析")

比较

现在,我们可以比较每种方法在样本外期间的方差估计中的误差:

#>           MA         EWMA   ETS(M,N,N)      ARCH(5)   GARCH(1,1)           SV #> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06barplot(error_all, main = "样本外方差估计中的误差"

滚动窗口比较

六种方法的滚动窗口比较:MA,EWMA,ETS(MNN),ARCH(5),GARCH(1,1)和SV。

  #滚动窗口lookback <- 200len\_tst <- 40for (i in seq(lookback, T-len\_tst, by = len\_tst)) {  # MA  var\_t <- roll\_meanr(x\_trn^2, n = 20, fill = NA)  var\_fore <- var(x\_trn/sqrt(var\_t), na.rm = TRUE) * tail(var\_t, 1)  error\_ma <- c(error\_ma, abs(var\_fore - var\_tst))    # EWMA  error\_ewma <- c(error\_ewma, abs(var\_fore - var\_tst))    # ETS(M,N,N)  error\_ets\_mnn <- c(error\_ets\_mnn, abs(var\_fore - var\_tst))    # ARCH  error\_arch <- c(error\_arch, abs(var\_fore - var\_tst))    # GARCH  error\_garch <- c(error\_garch, abs(var\_fore - var\_tst))    # SV  error\_sv <- c(error\_sv, abs(var\_fore - var\_tst))}barplot(error_all, main = "方差估计误差",

多元GARCH模型

出于说明目的,我们将仅考虑恒定条件相关(CCC)和动态条件相关(DCC)模型,因为它们是最受欢迎的模型。对数收益率残差wt建模为

其中zt是具有零均值和恒定协方差矩阵II的iid白噪声序列。条件协方差矩阵Σt建模为

其中Dt = Diag(σ1,t,...,σN,t)是标准化噪声向量C,协方差矩阵ηt=C-1wt(即,它包含等于1的对角线元素)。

基本上,使用此模型,对角矩阵Dt包含一组单变量GARCH模型,然后矩阵C包含序列之间的一些相关性。该模型的主要缺点是矩阵C是恒定的。为了克服这个问题,DCC被提议为

其中Ct包含等于1的对角元素。要强制等于1的对角元素,Engle将其建模为

Qt具有任意对角线元素并遵循模型

我们将生成数据,估计参数和预测。

从加载多元ETF数据开始:

  • SPDR S&P 500 ETF
  • 20年以上国债ETF
  • IEF:7-10年期国债ETF
# 下载数据prices <- xts()head(prices)#>                 SPY      TLT      IEF#> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224#> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085#> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463#> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714#> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468#> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719# 绘制三个对数价格序列plot(log(prices)     main = "三个ETF的对数价格", legend.loc = "topleft")

首先,我们定义模型:

# 指定i.i.d.单变量时间序列模型ugarch_spec # 指定DCC模型spec( multispec(replicate(spec, n = 3))

接下来,我们拟合模型:

# 估计模型#> #> *---------------------------------*#> *          DCC GARCH Fit          *#> *---------------------------------*#> #> Distribution         :  mvnorm#> Model                :  DCC(1,1)#> No. Parameters       :  44#> \[VAR GARCH DCC UncQ\] : \[30+9+2+3\]#> No. Series           :  3#> No. Obs.             :  1007#> Log-Likelihood       :  12198.4#> Av.Log-Likelihood    :  12.11 #> #> Optimal Parameters#> -----------------------------------#>               Estimate  Std. Error   t value Pr(>|t|)#> \[SPY\].omega   0.000004    0.000000  11.71585 0.000000#> \[SPY\].alpha1  0.050124    0.005307   9.44472 0.000000#> \[SPY\].beta1   0.870051    0.011160  77.96041 0.000000#> \[TLT\].omega   0.000001    0.000001   0.93156 0.351563#> \[TLT\].alpha1  0.019716    0.010126   1.94707 0.051527#> \[TLT\].beta1   0.963760    0.006434 149.79210 0.000000#> \[IEF\].omega   0.000000    0.000001   0.46913 0.638979#> \[IEF\].alpha1  0.031741    0.023152   1.37097 0.170385#> \[IEF\].beta1   0.937777    0.016498  56.84336 0.000000#> \[Joint\]dcca1  0.033573    0.014918   2.25044 0.024421#> \[Joint\]dccb1  0.859787    0.079589  10.80278 0.000000#> #> Information Criteria#> ---------------------#>                     #> Akaike       -24.140#> Bayes        -23.925#> Shibata      -24.143#> Hannan-Quinn -24.058#> #> #> Elapsed time : 0.8804049

我们可以绘制时变相关性:

# 提取时变协方差和相关矩阵dim(dcc\_cor)#> \[1\]    3    3 1007#绘图plot(corr\_t     main = "时变相关", legend.loc = "left")

我们看到两个收益ETF之间的相关性非常高且相当稳定。与SPY的相关性较小,在小于0的区间波动。


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