数据结构——二维树状数组

我们已经学会了对于以为树状数组的常规操作，那么我们好奇（谁没事，这么的无聊）能不能把类似的操作放在矩阵上呢？这里我们就来写二维的树状数组。

我们了解了一维树状数组的原理，二维树状数组和一维树状数组类似，在二维树状数组中，$arr[x][y]$记录的是右下角为$(x,y)$，高度为$lowbit(x)$，宽度为$lowbit(y)$的区间和。

单点修改+区间查询

void updata(int x, int y, int d){//将点(x, y)加上d
    int temp = y;
    for(; x <= n; x += lowbit(x)){//当x是固定值时，这就是一个横向的一维树状数组的操作
        for(y = temp; y <= n; y += lwbit(y)){//假设y是固定值时，这就是一个竖向的一维树状数组的操作
            arr[x][y] += d;
        }
    }
}
int getsum(int x, int y){//求左上角为(1,1)右下角为(x,y) 的矩阵和
    int res = 0, temp = y;
    for(;x > 0; x -= lowbit(x)){
        for(y = temp; y > 0; y -= lowbit(y)){
            res += arr[x][y];
        }
    }
    return res;
}

区间修改+单点查询

我们知道一维树状数组进行差分，就是先将原数组进行差分，在进行树状数组的操作，即一维差分+树状数组。同样的二维舒爽数组的区间修改+单点查询就是在二维差分的基础上进行树状数组操作。

void updata(int x, int y, int d){
	for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)){
		for(int j = y; j <= m; j += lowbit(j)){
			tree[i][j] += d;
		}
	}
}

ll getsum(int x, int y){
	ll res = 0;
	for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)){
		for(int j = y; j > 0; j -= lowbit(j)){
			res += tree[i][j];
		}
	}
	return res;
}
void range_add(){
	cin >> a >> b >> c >> d >> k;
	updata(a,b,k);
	updata(a,d+1,-k);
	updata(c+1,b,-k);
	updata(c+1,d+1,k);
}

区间修改+区间查询

这个类似与前面一维区间修改+区间查询的问题，我们知道点$(x,y)$的前缀和是：${\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^y{\sum }_{k=1}^i{\sum }_{h=1}^{j}d[k][h]$。（$d[k][h]$表示差分），这个式子我们可以写成：${\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]\times (x+1-i)\times (y+1-j)$。

展开式为：$(x+1)\times (y+1)\times {\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]-(y+1){\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]\times i-(x+1)\times {\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]\times j+{\sum }_{i=1}^x{\sum }_{j=1}^{y}d[i][j]\times i\times j$。所以我们只需要维护：$d[i][j],d[i][j]\times x,d[i][j]\times y,d[i][j]\times x\times y$即可。

void updata(int x, int y, int d){
	for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)){
		for(int j = y; j <= m; j += lowbit(j)){
			tree1[i][j] += d;
			tree2[i][j] += x * d;
			tree3[i][j] += y * d;
			tree4[i][j] += x * y * d;
		}
	}
}

ll getsum(int x, int y){
	ll res = 0;
	for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)){
		for(int j = y; j > 0; j -= lowbit(j)){
			res += (x + 1) * (y +1) * tree1[i][j] - (x + 1) * tree3[i][j] - (y + 1) * tree2[i][j] + tree4[i][j];
		}
	}
	return res;
}
void range_add(){
	cin >> a >> b >> c >> d >> k;
	updata(a,b,k);
	updata(a,d+1,-k);
	updata(c+1,b,-k);
	updata(c+1,d+1,k);
}
void print(){

	cin >> a >> b >> c >> d;
	cout << getsum(c,d) - getsum(c,b-1) - getsum(a-1,d) + getsum(a-1,b-1) << endl;
}