在图像处理中,图像信号总会因为各种原因受到噪声的干扰,其中高斯噪声就是典型的干扰类型之一。
针对图像去噪的模型有很多种,其中全变分模型被认为是最有效的模型之一。早在1992年,Rudin、Osher和Rudin三位学者在论文1就提出了全变分(Total Variation,TV)模型,论文证明了随着噪声的增加,图像的TV将会变大,因此,可以通过最小化TV来实现图像去噪。
全变分有几种模型,有各向异性全变分(Anisotropic Total Variation,ATV)、各向同性全变分(Isotropic Total Variation,ITV)和其它的形式。
定义一个 N × N N\times N N×N的图像信号 x x x,其中 x ( i , j ) x(i,j) x(i,j)表示图像的第 i i i行 j j j列像素值,则
ITV可以表示为
I T V ( x ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N [ x ( i + 1 , j ) − x ( i , j ) ] 2 + [ x ( i , j + 1 ) − x ( i , j ) ] 2 2 (1) ITV(x)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\sqrt[2]{[x(i+1,j)-x(i,j)]^2+[x(i,j+1)-x(i,j)]^2}\tag{1} ITV(x)=i=1∑Nj=1∑N2[x(i+1,j)−x(i,j)]2+[x(i,j+1)−x(i,j)]2(1)
ATV可以表示为
A T V ( x ) = ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N ∣ x ( i + 1 , j ) − x ( i , j ) ∣ + ∣ x ( i , j + 1 ) − x ( i , j ) ∣ (2) ATV(x)=\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N|x(i+1,j)-x(i,j)|+|x(i,j+1)-x(i,j)|\tag{2} ATV(x)=i=1∑Nj=1∑N∣x(i+1,j)−x(i,j)∣+∣x(i,j+1)−x(i,j)∣(2)
以ATV模型为例,一个图像去噪问题可以建模为
min u 1 2 ∣ ∣ u − x ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ ∣ D u ∣ ∣ 1 (3) \min_u \frac12 ||u-x||^2_2+\lambda||Du||_1\tag{3} umin21∣∣u−x∣∣22+λ∣∣Du∣∣1(3)
其中, x x x为待去噪信号, u u u为变量, λ \lambda λ为正则化参数。 D D D为全变分算子,可以由式(1)得到。该问题是一个非凸、不光滑问题,无法直接采用梯度下降法求解。
交替方向乘子法2(Alternating Direction Method of Multiplier,ADMM)提供了一个解决此类问题的框架3。引入变量 d d d,将问题(3)转化为ADMM的一般形式
min u 1 2 ∣ ∣ u − x ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ ∣ d ∣ ∣ 1 s . t . D u − d = 0 (4) \min_u \frac12 ||u-x||^2_2+\lambda||d||_1 \ \ s.t.\ \ Du-d=0\tag{4} umin21∣∣u−x∣∣22+λ∣∣d∣∣1 s.t. Du−d=0(4)
利用增广拉格朗日法引入凸松弛,同时去除约束条件,有
L ( u , d , μ ) = 1 2 ∣ ∣ u − x ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ ∣ d ∣ ∣ 1 + μ T ( D u − d ) + δ 2 ∣ ∣ D u − d ∣ ∣ 2 2 (5) L(u,d,\mu)=\frac12 ||u-x||^2_2+\lambda||d||_1+\mu^T(Du-d)+\frac \delta 2||Du-d||^2_2\tag{5} L(u,d,μ)=21∣∣u−x∣∣22+λ∣∣d∣∣1+μT(Du−d)+2δ∣∣Du−d∣∣22(5)
其中 μ \mu μ为拉格朗日乘子, δ > 0 \delta>0 δ>0为拉格朗日惩罚项。为了使表达更简洁,可做如下替换:
L ( u , d , μ ) = 1 2 ∣ ∣ u − x ∣ ∣ 2 2 + λ ∣ ∣ d ∣ ∣ 1 + δ 2 ∣ ∣ D u − d + p ∣ ∣ 2 2 − δ 2 ∣ ∣ p ∣ ∣ 2 2 (6) L(u,d,\mu)=\frac12 ||u-x||^2_2+\lambda||d||_1+\frac \delta 2||Du-d+p||^2_2-\frac \delta 2||p||_2^2\tag{6} L(u,d,μ)=21∣∣u−x∣∣22+λ∣∣d∣∣1+2δ∣∣Du−d+p∣∣22−2δ∣∣p∣∣22(6)
其中 p = μ / δ p=\mu / \delta p=μ/δ。利用ADMM,问题(6)的求解可通过交替求解以下三个问题进行实现:
u n + 1 = a r g min u 1 2 ∣ ∣ u − x ∣ ∣ 2 2 + δ 2 ∣ ∣ D u − d n + p n ∣ ∣ 2 2 (7) u_{n+1}=arg\,\min_u\ \frac12 ||u-x||^2_2+\frac \delta 2||Du-d_n+p_n||^2_2\tag{7} un+1=argumin 21∣∣u−x∣∣22+2δ∣∣Du−dn+pn∣∣22(7)
d n + 1 = a r g min u λ ∣ ∣ d ∣ ∣ 1 + δ 2 ∣ ∣ D u n − d + p n ∣ ∣ 2 2 (8) d_{n+1}=arg\,\min_u\ \lambda||d||_1+\frac \delta 2||Du_n-d+p_n||^2_2\tag{8} dn+1=argumin λ∣∣d∣∣1+2δ∣∣Dun−d+pn∣∣22(8)
p n + 1 = p n + ( D u n + 1 − d n + 1 ) (9) p_{n+1}=p_n+(Du_{n+1}-d_{n+1})\tag{9} pn+1=pn+(Dun+1−dn+1)(9)
测试图像采用的是house,对其添加高斯噪声,将加噪后的图像输入到去噪算法
从仿真结果可以看到,去噪后的图像上的噪声被抑制了,图像变得更加平滑了,图像边缘也得到了增强。然而,图像原本的细节也丢失了。
x=double(imread('house.bmp'));
x_n=x+10*randn(size(x));
x_r=ADMM_TVdenoise(x_n,25,10,100);
figure;
subplot(131);
imshow(uint8(x));
title('原始图像');
subplot(132);
imshow(uint8(x_n));
title('加噪图像');
subplot(133);
imshow(uint8(x_r));
title('去噪图像');
function xp=ADMM_TVdenoise(x,delta,lambda,iteratMax)
[N,~]=size(x);
x=reshape(x,N*N,1);
[Dh,Dv]=TVOperatorGen(N);
D=sparse([Dh',Dv']');
d=D*x;
p=ones(2*N*N,1)/delta;
IdelDD=inv((eye(N*N)+delta*(D'*D)));
for ii=1:iteratMax
u=IdelDD*(x+delta*D'*(d-p));
d=wthresh(D*u+p,'s',lambda/delta);
p=p+D*u-d;
end
xp=reshape(u,N,N);
end
function [Dh,Dv]=TVOperatorGen(n)
Dh=-eye(n^2)+diag(ones(1,n^2-1),1);
Dh(n:n:n^2,:)=0;
Dv=-eye(n^2)+diag(ones(1,n^2-n),n);
Dv(n*(n-1)+1:n^2,:)=0;
end
https://github.com/dwgan/ADMM_TV_denoise
Rudin, Leonid I., Stanley Osher, and Emad Fatemi. “Nonlinear total variation based noise removal algorithms.” Physica D: nonlinear phenomena 60.1-4 (1992): 259-268. ↩︎
Boyd, Stephen, et al. “Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers.” Foundations and Trends® in Machine learning 3.1 (2011): 1-122. ↩︎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/448289351 ↩︎