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循环码
能够识记循环码的基本概念;
能够说明循环码生成多项式的特点;
能够应用多项式运算完成循环码（系统型和非系统型)的编译码;
能根据生成多项式求出循环码的生成矩阵（系统型和非系统型）;
能够解释循环码的编译码电路;
了解循环冗余校验(CRC) ，BCH和RS三种线性循环码
循环码的特点
1.可以用线性反馈移位寄存器很容易地实现编码和伴随式计算;
2.由于循环码有许多固有的代数结构，从而可以找到各种简单实用的译码方法。
由于循环码具有很多的良好性质，所以它在理论和实践中都很重要。
基本概念
定义: 设 $\mathrm{C}$ 是某 ($\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k}$) 线性分组码的码字集合, 如果对任何
$$ \mathbf{c}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_{0}) \in \mathbf{C} $$
它的循环移位(左移)
$$ \mathbf{c}^{(1)}=(c_{n-2}, c_{n-3}, \cdots, c_{0}, c_{n-1}) $$
也属于 $\mathrm{C}$ , 则称该 ($\boldsymbol{n}, \boldsymbol{k}$) 码为循环码。
同理, 左移 i 位
$$ \mathbf{c}^{(i)}=(c_{n-i-1}, c_{n-i-2}, \cdots, c_{0}, c_{n-1}, \ldots, c_{n-i}) $$
仍是这个循环码的一个码字。
下面A、B、C、D四个码集，哪个码集是循环码? A
提示:先判断是否线性分组码，再看是否符合循环特性
A. (000,110,101,011)
B. (000,010,101,111)
C. (001,110,101,111)
D. (000,010,100,001)
循环码的多项式描述
对任意一个长为 $n$ 的码字
$$ \mathbf{c}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \cdots, c_{1}, c_{0}) \in \mathbf{C} $$
可用一多项式来表示, 称其为码多项式:
$$ c(x)=c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+\cdots+c_{1} x+c_{0} $$
$$ \begin{array}{l} \mathrm{C}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \ldots, c_{1}, c_{0}) \\ \lt C(x)=c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+\ldots+c_{1} x+c_{0} \end{array} $$
$\boldsymbol{c}_{i}$ 是多项式的系数, 一切系数的运算均是在 $\boldsymbol{G F}(2)$ 上的运算。
多项式的阶数一系数不为 0 的 x 的最高幂次:
$$ \operatorname{deg} c(x) \leq n-1 $$
多项式的加法和乘法运算 GF (2)
加法
$$ \begin{array}{l} u(x)=u_{2} x^{2}+u_{1} x+u_{0}, g(x)=g_{1} x+g_{0} \\ u(x)+g(x)=(u_{2}+0) x^{2}+(u_{1}+g_{1}) x+(u_{0}+g_{0}) \end{array} $$
乘法
$$ \begin{array}{l} u(x) g(x) \\ =u_{2} g_{1} x^{3}+(u_{2} g_{0}+u_{1} g_{1}) x^{2}+(u_{1} g_{0}+u_{0} g_{1}) x+u_{0} g_{0} \end{array} $$
写成矩阵形式
$$ c=(u_{2}, u_{1}, u_{0})(\begin{array}{llll} g_{1} & g_{0} & 0 & 0 \\ 0 & g_{1} & g_{0} & 0 \\ 0 & 0 & g_{1} & g_{0} \end{array})=(u_{2} g_{1},(u_{2} g_{0}+u_{1} g_{1}),(u_{1} g_{0}+u_{0} g_{1}), u_{0} g_{0}) $$
例:
$$ \begin{array}{l} (x^{6}+x^{2}+1)+(x^{3}+x^{2})\\ =x^{6}+x^{3}+(1+1) x^{2}+1 \\ =x^{6}+x^{3}+1 \end{array} $$
基本多项式关系
$$ \begin{array}{c} (x+1)^{2}=x^{2}+1 \\ (x+1)(x^{3}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)=x^{7}+1 \\ (x+1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)=x^{n}+1 \end{array} $$
多项式的模运算
模 $\mathbf{N}$ 运算： $M / N=Q+R / N \quad 0 \leq R \lt N$ ; 其中 M, N 为 正 整数, $\mathbf{Q}$ 为整数, 则在模 $\mathbf{N}$ 运算下, 有 $M \equiv \mathbf{R}$ （模 $\mathbf{N} $, 记为 $\bmod \mathbf{N}$ )
例 : $14 \equiv 2(\bmod 12)$, $1+1=2 \equiv 0 (mod 2)$, $3+2=5 \equiv 1(\bmod 2)$, $5 \times 4=20 \equiv 0(\bmod 2)$
给定任意两个系数在 $G F(2) $ 上的多项式 a(x) 和 p(x) , 一定存在有唯一的多项式 Q(x) 和 r(x) , 使
$$ a(x)=Q(x) p(x)+r(x) $$
称 Q(x) 是 a(x) 除以 p(x) 的商式, r(x) 是 a(x) 除以 p(x) 的余式， 在模 p(x) 运算下,
$$ a(x) \equiv r(x) \quad[\bmod p(x)] $$
记 a(x) 除以 p(x) 的余式为 $r(x)=[a(x)] \bmod p(x)$ , 其中
$$ 0 \leq \operatorname{deg} r(x)<\operatorname{deg} p(x) \text {, 或 } r(x)=0 $$
$x^6$被$x^3+x+1$除，求余式
注:GF(2)的运算中，用加法代替减法。
计算过程省略：$r(x) = x^2 + 1$
对于任意多项式 a(x) 、 b(x) 和 p(x) , 可以证明
$$ \{b(x)[a(x)]_{\bmod p(x)}\}_{\bmod p(x)}=[b(x) \cdot a(x)]_{\bmod p(x)} $$
若：
$$ \begin{array}{c} a(x)=x^{7}+x+1 \\ b(x)=x^{2}+1 \\ p(x)=x^{3}+x+1 \end{array} $$
请验证上式。余式=1。
对于 (n, k) 循环码, 若 c(x) 对应码字
$$ \mathbf{c}=(c_{n-1}, c_{n-2}, \ldots, c_{1}, c_{0}), $$
$\boldsymbol{c}^{(1)}(\boldsymbol{x})$ 对应 $\boldsymbol{c}$ 的一次移位 $\mathbf{c}^{(1)}=(c_{n-2}, \ldots, c_{1}, c_{0}, c_{n-1})$ , 对 $c^{(i)}(x)$ 对应 c 的 i 次移位 $c^{(i)}$ ，则
$$ \begin{array}{c} c^{(1)}(x)=[x c(x)] \bmod (x^{n}+1) \\ c^{(i)}(x)=[x^{i} c(x)] \bmod (x^{n}+1) \end{array} $$
证：
$$ \begin{array}{l} c^{(1)}(x)=[x c(x)] \bmod (x^{n}+1) \text {, } \\ c^{(i)}(x)=[x^{i} c(x)] \bmod (x^{n}+1) \\ c(x)=c_{n-1} x^{n-1}+c_{n-2} x^{n-2}+\cdots+c_{1} x+c_{0} \\ x c(x)=c_{n-1} x^{n}+c_{n-2} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x^{2}+c_{0} x \\ =c_{n-1} x^{n}+c_{n-2} x^{n-1}+\cdots+c_{1} x^{2}+c_{0} x+c_{n-1}+c_{n-1} \\ =c_{n-1}(x^{n}+1)+c^{(1)}(x) \\ arrow[x c(x)]_{\bmod (x^{n}+1)}=[c_{n-1}(x^{n}+1)+c^{(1)}(x)]_{\bmod (x^{n}+1)} \\ =c^{(1)}(x) \\ \end{array} $$
例 (7,4) 循环码的第 12 个码字 $c_{12}$ 的码多项式 为 $C(x)=x^{6}+x^{4}+x^{3}$ , 写出左循环移位 3 次的码字。
解: $i=3, x^{3} C(x)=x^{9}+x^{7}+x^{6}$ , 与 $x^{7}+1$ 作除法, 得 $C^{(3)}(x)=x^{6}+x^{2}+1$ 。对应码字 1000101 。
另: 由简单移位给出, 原始码字 1011000 , 左移三位为: 1000101 。
参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.