题目描述
这是 LeetCode 上的 587. 安装栅栏 ，难度为 困难。
Tag : 「计算几何」、「凸包」
在一个二维的花园中，有一些用 $(x, y)$ 坐标表示的树。由于安装费用十分昂贵，你的任务是先用最短的绳子围起所有的树。只有当所有的树都被绳子包围时，花园才能围好栅栏。
你需要找到正好位于栅栏边界上的树的坐标。
示例 1:
输入: [[1,1],[2,2],[2,0],[2,4],[3,3],[4,2]]
输出: [[1,1],[2,0],[4,2],[3,3],[2,4]]
示例 2:
输入: [[1,2],[2,2],[4,2]]
输出: [[1,2],[2,2],[4,2]]
解释:即使树都在一条直线上，你也需要先用绳子包围它们。注意:
- 所有的树应当被围在一起。你不能剪断绳子来包围树或者把树分成一组以上。
- 输入的整数在 $0$ 到 $100$ 之间。
- 花园至少有一棵树。
- 所有树的坐标都是不同的。
- 输入的点没有顺序。输出顺序也没有要求。
二维凸包（Andrew 算法）
这是一道「二维凸包」板子题，需要注意的是网上大多数 Andrew 算法的板子都是有问题的（下面会说）。
Andrew 算法正是用于求解凸包上的所有点（围成所有点的最小周长），其算法逻辑将凸包分为「上凸壳」和「下凸壳」，并分别画出（蓝色分割线将凸包分为两部分）：
基本流程为：
- 对所有点进行双关键字排序，先根据 $x$ 坐标排升序，后根据 $y$ 排升序；
根据 $x$ 排升序的目的，是为了我们能够往一个方向画出凸包边缘（从左往后画出一半凸壳，从右往左画出另外一半），而将 $y$ 升序目的是可以确保一旦我们现在从 $a$ 到 $b$ 进行连线，那么 $a$ 到 $b$ 之间的所有点能够确保被围住； - 使用栈来维护所有凸包上的点，或者说凸包上的边，会更为准确，凸包起点元素会在栈中出现两次（首尾），因此更为准确的描述应该是使用栈维护凸包的所有的边，栈中相邻元素代表凸包上的一条边；
分别「从前往后」和「从后往前」处理排序好的所有点，来分别画出凸包的两半部分，根据画的是第一部分还是第二部分，维护栈内元的处理逻辑稍有不同：
a. 画的是凸包的第一部分：
- 若栈内元素少于 $2$ 个，组成一条线至少需要两个点，说明此时第一条边都还没画出，直接将元素添加到栈中；
若栈内元素不少于 $2$ 个，考虑是否要将栈顶的边删掉（由栈顶前两个元素组成的边）假设栈顶元素为 $b$，栈顶元素的下一位为 $a$，即栈顶存在一条 $a$ 到 $b$ 的边，当前处理到的点为 $c$，此时我们根据 $ac$ 边是否在 $ab$ 边的时针方向来决定是否要将 $ab$ 边去掉：
按照上述逻辑处理完所有点，凸包第一部分的点（边）都存在于栈中。
b. 画的是凸包的第二部分：逻辑同理，唯一需要注意的是，第一部分的凸包边我们不能删去，假定处理完第一部分凸包，我们栈内有 $m$ 个元素，我们需要将上述「栈顶元素不少于 $2$ 个」的逻辑替换为「栈顶元素大于 $m$ 个」，同时已参与到凸包第一部分的点，不能再考虑，因此需要额外使用一个 $vis$ 数组来记录使用过的点。
一些细节，为了方便取得栈顶的前两位元素，我们使用数组实现栈，$stk$ 代表栈容器，$tp$ 代表栈顶元素下标。
正如刚刚讲到，起点会被入栈两次（对应第一条边和最后一条边），因此输出方案时，栈顶和栈底我们只选其一即可。
代码：
class Solution {
int[] subtraction(int[] a, int[] b) { // 向量相减
return new int[]{a[0] - b[0], a[1] - b[1]};
}
double cross(int[] a, int[] b) { // 叉乘
return a[0] * b[1] - a[1] * b[0];
}
double getArea(int[] a, int[] b, int[] c) { // 向量 ab 转为 向量 ac 过程中扫过的面积
return cross(subtraction(b, a), subtraction(c, a));
}
public int[][] outerTrees(int[][] trees) {
Arrays.sort(trees, (a, b)->{
return a[0] != b[0] ? a[0] - b[0] : a[1] - b[1];
});
int n = trees.length, tp = 0;
int[] stk = new int[n + 10];
boolean[] vis = new boolean[n + 10];
stk[++tp] = 0; // 不标记起点
for (int i = 1; i < n; i++) {
int[] c = trees[i];
while (tp >= 2) {
int[] a = trees[stk[tp - 1]], b = trees[stk[tp]];
if (getArea(a, b, c) > 0) vis[stk[tp--]] = false;
else break;
}
stk[++tp] = i;
vis[i] = true;
}
int size = tp;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (vis[i]) continue;
int[] c = trees[i];
while (tp > size) {
int[] a = trees[stk[tp - 1]], b = trees[stk[tp]];
if (getArea(a, b, c) > 0) tp--;
// vis[stk[tp--]] = false; // 非必须
else break;
}
stk[++tp] = i;
// vis[i] = true; // 非必须
}
int[][] ans = new int[tp - 1][2];
for (int i = 1; i < tp; i++) ans[i - 1] = trees[stk[i]];
return ans;
}
}- 时间复杂度：排序复杂度为 $O(n\log{n})$，统计凸包上的点复杂度为 $O(n)$。整体复杂度为 $O(n)$
- 空间复杂度：$O(n)$
网上 Andrew 板子问题
由于我太久没写计算几何了，翻了一下以前在其他 OJ 提交的题，找回自己几年前的板子，好奇心驱使，想看看现在是否有板子上的突破（通常很难，尤其对于计算几何而言），结果发现网上绝大多数板子都存在严重逻辑错误：
- 最为严重的错误是，处理凸包第一部分和第二部分，都是使用「栈顶元素不少于 $2$ 个」的逻辑：即使存在 $vis$ 数组也无法避免该逻辑错误，在某些数据上，该逻辑会导致最右边的一些点无法被围住；
- 存在对
vis数组的错误理解：vis的作用仅是为了处理凸包第二部分的时候，不要使用到凸包第一部分的点而已。含义并非是处理过的点，或者当前凸包上的点，因此你可以看到我代码注释中写了「不标记起点」和「非必须」，在画第二部分的凸包时，只需要确保第一部分使用的点不参与即可，重复点问题本身就由遍历所保证，而并非 $vis$ 数组。当然，为了记忆方便，让模板更具有“对称性”，也可以保留在画第二部分凸包的时候，保留对 $vis$ 的维护逻辑，但千万不要搞错了 $vis$ 的含义。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.587 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode 。
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