动态规划：最长公共子序列

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前言

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。
示例 1：
输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “ace” ，它的长度为 3 。
示例 2：
输入：text1 = “abc”, text2 = “abc”
输出：3
解释：最长公共子序列是 “abc” ，它的长度为 3 。
示例 3：
输入：text1 = “abc”, text2 = “def”
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：
1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

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一、动态规划

暴力法依然可以求解本题，但是问题在于时间复杂度会超时，所以这里不再描述，只介绍动态规划这种算法

动态规划的核心思想是：

求公共子序列长度：

	int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
	int size1 = text1.size();
	int size2 = text2.size();
	vector<vector<int>> dp(size1+1, vector<int>(size2+1, 0));
	for(int i=1;i<=size1;i++) {
		for(int j=1;j<=size2;j++) {
			if(text1[i-1] == text2[j-1]) {
			dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
			} else {
			dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
			}
		}
	}
	return dp[size1][size2];
}

输出公共子序列的长度：

void lcsPrint(vector<vector<int>> B, string X, int i, int j) {
	if (i == 0 || j == 0) {
	return;
	}
	if (B[i][j] == 2) {
		lcsPrint(B, X, i - 1, j - 1);
		cout<<X[i-1]<<endl;
	}
	else if (B[i][j] == 1) {
		lcsPrint(B, X, i - 1, j);
	}
	else {
		lcsPrint(B, X, i, j - 1);
	}
}

int main() {
string X = "ADBCDACBA";
string Y = "ABCADBACB";
int i = 0;
int j = 0;
int size1 = X.size();
int size2 = Y.size();
vector<vector<int>> dp(size1+1, vector<int>(size2+1, 0));
vector<vector<int>> B(size1+1, vector<int>(size2+1, -1));
for(i=1;i<=size1;i++) {
	for(j=1;j<=size2;j++) {
		if(X[i-1] == Y[j-1]) {
		dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
		B[i][j] = 2;
		} else if(dp[i-1][j] >= dp[i][j-1]){
			dp[i][j] = dp[i-1][j];
			B[i][j] = 1;
		} else {
			B[i][j] = 0;
			dp[i][j] = dp[i][j-1];
		}
	}
}
lcsPrint(B, X, size1, size2);
cout<<endl;
cout<<dp[size1][size2];
return 0;