泊松分布和指数分布，包你学会

当你学习指数分布的时候，经常会看到泊松分布的身影，网上的大部分教程讲的非常复杂，看完之后还是一头雾水。

本文本着通俗易懂的原则，使用生活中的例子，说明泊松分布和指数分布的关系。一下子学会了两种分布，有没有很有成就感？

泊松分布

在日常生活中，许多事件是有一定的频率的，比如下面的例子。

某公司平均每一小时接到三个用户电话。
某超市平均每五小时卖掉一个玩具。
一个网站平均每一分钟有二次访问。

你有没有发现上面事件的一些共同点？细心的你会发现，上面的事件，只能估计事件发生的总数，但是不能知道具体发生的时间。如果我问你，上面的第一个例子，平均每一小时接到一个用户电话，下一小时接到几个电话？我们并不能准确知道。

泊松分布便是描述某段时间内，事件发生的次数的概率。

泊松分布的概率密度函数公式如下，

$$P(N(t)=n)=\frac{(\lambda t{)}^n{e}^{-\lambda t}}{n!}$$
上面的式子中，$P$表示概率，$N$表示某种函数关系，$t$表示时间段，$n$表示事件发生的次数。一小时内接到一个用户电话的概率表示为$P(N(1)=3)$。$\lambda$表示事件的频率。

为了理解的更深入，咱们再多举一些例子。

接下来两个小时，一个用户电话也没有的概率是0.025%，发生概率约等于零，计算方法如下所示，
$$P(N(2)=0)=\frac{(3\times 2{)}^0{e}^{-3\times 2}}{0!}\approx 0.0025$$

接下来一个小时，至少有两个用户电话的概率是80%。计算方法如下所示，
$$\begin{array}{rl}P(N(1)\ge 2)& =1-P(N(1)=0)-P(N(1)=1)\\ & =1-\frac{(3\times 1{)}^0{e}^{-3\times 1}}{0!}-\frac{(3\times 1{)}^1{e}^{-3\times 1}}{1!}\\ & =1-e^{-3}-3e^{-3}\\ & =1-4e^{-3}\\ & \approx 0.8009\end{array}$$

通过上面的例子，相信大家对泊松分布的理解又上了一层楼。

泊松分布的概率密度图大概长下面的样子，

在频率附近，事件的发生的概率最大。两边对称下降，意思是事件发生次数越大和越小概率越来越小。每小时接到三个用户的电话的概率是最大的，接到更多和更少的电话次数的概率变得越来越小。

指数分布

下面这些例子全是指数分布。

来电的时间间隔。
玩具销售的时间间隔。
网站访问的时间间隔。

细心的你发现了，上面的例子的共同点，时间间隔。

指数分布描述事件发生的时间间隔的概率。

指数分布和泊松分布有什么关系呢？指数分布的概率密度函数能从泊松分布的概率密度函数推导出来。

为了通俗易懂，还是举例子来说明。

假如下一个用户电话的间隔时间是$t$，等价于$t$时间内没有任何用户打电话。用公式表示如下所示，

$$\begin{array}{rl}P(X>t)& =P(N(t)=0)\\ & =\frac{(\lambda t{)}^0{e}^{-\lambda t}}{0!}\\ & =e^{-\lambda t}\end{array}$$
有了上式，用户在$t$时间内打电话的概率是1减去上面的概率
$$\begin{array}{rl}P(X\le t)& =1-P(X>t)\\ & =1-e^{-\lambda t}\end{array}$$

有了上面的公式，我们计算一下接下来15分钟内，有用户打电话的概率是
$$\begin{array}{rl}P(X\le 0.25)& =1-P(X>t)\\ & =1-e^{-3\times 0.25}\\ & \approx 0.5276\end{array}$$
我们再计算一下，用户接下来在15到30分钟内打电话的概率是
$$\begin{array}{rl}P(0.25\le X\le 0.5)& =P(X\le 0.5)-P(X\le 0.25)\\ & =(1-e^{-3\times 0.5})-(1-e^{-3\times 0.25})\\ & =e^{-0.75}-e^{-1.5}\\ & \approx 0.2492\end{array}$$

理解了吗？指数分布描述的是时间发生的时间间隔的概率。

指数分布的概率密度函数长下面的样子。

因为概率密度函数图像呈现指数衰减的样子，所以起名叫指数分布。

从上图能知道，随着时间间隔变长，事件发生的概率急剧下降。是指数式衰减的。

还是上面的例子，每个小时内有三个用户打电话，下一个用户间隔2小时打电话的概率是0.25%，那么间隔3小时，4小时的概率，更加接近于0。

总结

一句话来说。

泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布。

指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。