计算机组成原理 | 理解二进制编码

二进制的转换

二进制——> 十进制：

• 从右到左的第 N 位，乘上一个 2 的 N 次方，然后加起来，就变成了一个十进制数
• 例如二进制数：0011，对应的十进制表示，就是 $0\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0=3$，代表十进制的 $3$

十进制——> 二进制：

• 短除法

  1. 将十进制数除以2，并记录余数。
  2. 将商继续除以2，再次记录余数。
  3. 重复此过程，直到商为0为止。
  4. 将记录的余数按相反的顺序排列，即可得到对应的二进制数。

例如，将十进制数23转换为二进制：

• 23 ÷ 2 = 11 余 1
• 11 ÷ 2 = 5 余 1
• 5 ÷ 2 = 2 余 1
• 2 ÷ 2 = 1 余 0
• 1 ÷ 2 = 0 余 1

然后，将记录的余数按相反的顺序排列：10111

二进制的相加操作

二进制相加的规则如下：

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0，产生一个进位（carry）

例如：

   1 0 1 1     (1011)
+  0 1 0 1     (0101)
------------
   1 1 0 0     (1100)

• 从最右边的位开始相加，根据规则，1 + 1 = 0，并且产生了一个进位。这个进位需要加到下一位的相加结果中。依次相加，最后得到结果1100。
• 如果相加的两个二进制数的位数不同，那么在相加之前需要对齐它们的位数。可以在较短的二进制数的左侧补零，使它们的位数相等，然后再进行相加操作

二进制的减法操作

减法运算步骤

• 二进制减法可以通过将减法转换为加法来完成，其中使用补码形式进行相加，并进行进位处理。

下面是二进制减法运算的步骤：

1. 将减数转换为补码形式（如果减数为负数）。

   • 如果减数为正数，无需转换。
   • 如果减数为负数，需要将其转换为补码形式。转换方法是先取其绝对值的二进制表示形式，然后按位取反（0变为1，1变为0），最后加1。

2. 使用补码形式的减数与被减数进行二进制相加。

   • 采用与二进制加法相同的步骤，从最低位（最右边）开始逐位相加，并处理进位。

3. 检查结果的最高位（最左边的位）确定其正负性。

   • 如果最高位为1，表示结果为负数。
   • 如果最高位为0，表示结果为正数。

4. 如果结果为负数，将结果转换为正数形式。

   • 将结果的补码形式的最高位取反（0变为1，1变为0）得到反码。
   • 对反码加1得到正数形式。

5. 最终结果即为减法的结果。

减法示例

假设我们要计算-5加1的结果：

-5 + 1 = ?

1. 将被减数（-5）转换为补码形式：

   首先，取其反码：1010

   然后，将反码加1：1011

   所以，-5的补码为：1011

2. 1的二进制表示为：0001

现在，我们将进行二进制的相加操作：

  1011  (-5)
+ 0001  (+1)
----------

从最右边的位开始相加：

• 第一位（最低位）：1 + 1 = 10。将0写在当前位上，并将1作为进位。

  1011  (-5)
+ 0001  (+1)
----------
     0

• 第二位：1（进位）+ 1 + 0 = 10。将0写在当前位上，并将1作为进位。

  1011  (-5)
+ 0001  (+1)
----------
    00

• 第三位：1（进位）+ 0 + 0 = 1。将1写在当前位上。

  1011  (-5)
+ 0001  (+1)
----------
   100

• 第四位：1 + 0 = 1。将1写在当前位上。

  1011  (-5)
+ 0001  (+1)
----------
  1100

• 最终结果的最高位为1，说明结果是负数，所以：1100是一个负数。

接下来，我们需要将结果转换为正数形式：

1. 取补码的反码：0011。
2. 将反码加1得到：0100。

最后得到：-5 + 1 = -4。

表：二进制相加

参考文献

• 徐文浩. 二进制编码：“手持两把锟斤拷，口中疾呼烫烫烫”？极客时间. 2019