约数的例题

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869.试除法求约数

给定$n$个正整数，对于每个整数$a_i$，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。
输入格式
第一行包含整数$n$。
接下来，每行包含一个整数$a_i$。
输出格式
输出共$n$行，其中第$i$行输出第$i$个整数$a_i$的所有约数。
数据范围$1\le n\le 100,2\le a_i\le 2\times 10^9$。

思路：直接遍历筛即可。

#include 
#include 
#include  
#include 
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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define ICO std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0)
#define mm(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define endl '\n'
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll; 
typedef vector<int> vet;
typedef vector<ll> vell;
typedef queue<int> qut;
typedef queue<ll> qull;
const double eps = 1e-9;
const float pi = acos(-1.0);
const int inf_int = 0x3f3f3f3f;
const ll inf_ll = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 1e6+10;
inline ll read() {
    ll x = 0, fl = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { if(c == '-') fl = -1; c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * fl;
}
inline ll gcd(ll a, ll b){return b == 0? a : gcd(b, a % b);}

int n;
ll a;

signed main(){
    IOS;
    cin >> n;
    while(n--){
        int t = 0;
        cin >> a;
        for(int i = 1; i <= sqrt(a); i++){
            if(a % i == 0) cout << i << " ";
        }
        int res = sqrt(a);
        if(res * res == a) t = res - 1;
        else t = res;
        for(int i = t; i >= 1; i--){
            if(a % i == 0) cout << a/i << " ";
        }
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

872.最大公约数

给定$n$对正整数$a_i,b_i$，请你求出每对数的最大公约数
输入格式
第一行包含整数$n,1\le n\le 10^5$。
接下来$n$行，每行包含一个整数对$a_i,b_i,1\le a_i,b_i\le 2\times 10^9$,。
输出格式
输出$n$行，每行输出一个整数对的最大公约数。

#include 
#include 
#include  
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#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define ICO std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0)
#define mm(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define endl '\n'
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll; 
typedef vector<int> vet;
typedef vector<ll> vell;
typedef queue<int> qut;
typedef queue<ll> qull;
const double eps = 1e-9;
const float pi = acos(-1.0);
const int inf_int = 0x3f3f3f3f;
const ll inf_ll = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 1e6+10;
inline ll read() {
    ll x = 0, fl = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { if(c == '-') fl = -1; c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * fl;
}
inline ll gcd(ll a, ll b){return b == 0? a : gcd(b, a % b);}

int n, res;
ll a, b;

signed main(){
    cin >> n;
    while(n--){
        cin >> a >> b;
        cout << gcd(a,b) << endl;
    }
    return 0;
}

870.约数个数

给定$n$的正整数$a_i$，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对$10^9+7$取模。
输入格式
第一行包含整数$n$。
接下来$n$行，每行包含一个整数$a_i$。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案对$10^9+7$取模。
数据范围$1\le n\le 100,2\le a_i\le 2\times 10^9$。

思路：对整数$a_i$让其始终被其最小的素数整除，并记录这个素数的个数，（最好使用$map$存储，方便）然后代入公式计算即可。

#include 
#include 
#include  
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define ICO std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0)
#define mm(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define endl '\n'
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll; 
typedef vector<int> vet;
typedef vector<ll> vell;
typedef queue<int> qut;
typedef queue<ll> qull;
const double eps = 1e-9;
const float pi = acos(-1.0);
const int inf_int = 0x3f3f3f3f;
const ll inf_ll = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 1e6+10;
inline ll read() {
    ll x = 0, fl = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { if(c == '-') fl = -1; c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * fl;
}
inline ll gcd(ll a, ll b){return b == 0? a : gcd(b, a % b);}

signed main(){
    int n, x;
    ll res = 1;
    cin >> n;
    map<int,int>ma;
    map<int,int>::iterator iter;
    while(n--){
        cin >> x;
        for(int i = 2;  i <= x / i; i++){
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                ma[i]++;
            }
        }
        if(x > 1) ma[x]++;
    }
    for(iter = ma.begin(); iter != ma.end(); iter++){
        res = res * (iter->second + 1) % mod;
    }
    cout << res;
    return 0;
}

871.约数之和

给定$n$的正整数$a_i$，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对$10^9+7$取模。
输入格式
第一行包含整数$n$。
接下来$n$行，每行包含一个整数$a_i$。
输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案对$10^9+7$取模。
数据范围$1\le n\le 100,2\le a_i\le 2\times 10^9$。

思路：对整数$a_i$让其始终被其最小的素数整除，并记录这个素数的个数，（最好使用$map$存储，方便）然后代入公式计算即可。

#include 
#include 
#include  
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define ICO std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0)
#define mm(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x & (-x))
#define endl '\n'
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll; 
typedef vector<int> vet;
typedef vector<ll> vell;
typedef queue<int> qut;
typedef queue<ll> qull;
const double eps = 1e-9;
const float pi = acos(-1.0);
const int inf_int = 0x3f3f3f3f;
const ll inf_ll = 0x7f7f7f7f7f7f7f7f;
const int mod = 1e9+7;
const int N = 2e5 + 10;
const int M = 1e6+10;
inline ll read() {
    ll x = 0, fl = 1; char c = getchar();
    while (c < '0' || c > '9') { if(c == '-') fl = -1; c = getchar(); }
    while (c >= '0' && c <= '9') { x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
    return x * fl;
}
inline ll gcd(ll a, ll b){return b == 0? a : gcd(b, a % b);}

ll fastpow(int a, int n){
    ll res = 1;
    while(n){
        if(n & 1) res = ((res % mod) * (a % mod)) % mod;
        a = ((a % mod) * (a % mod)) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res % mod;
}

sigend main(){
    int n, x;
    ll res = 0, ans = 1;
    cin >> n;
    map<int,int>ma;
    map<int,int>::iterator iter;
    while(n--){
        cin >> x;
        for(int i = 2;  i <= x / i; i++){
            while(x % i == 0){
                x /= i;
                ma[i]++;
            }
        }
        if(x > 1) ma[x]++;
    }
    for(iter = ma.begin(); iter != ma.end(); iter++){
        res = 0;
        for(int i = 0; i <= iter->second; i++){
            res = ((res % mod) + (fastpow(iter->first,i) % mod)) % mod;
        }
        ans = ((ans % mod) * (res % mod) % mod);
    }
    cout << ans % mod;
    return 0;
}