关于用线或者平面切割问题

1. $n$条直线最多可以把平面分成多少个区域

   分析：当平面有$n-1$条直线时，平面最多有$f(n-1)$个区域，则第$n$条直线要是切成的区域数最多，就必须与每条直线相交且不能有同一个交点。这样就会得到$n-1$个交点。这些交点将第$n$条直线分成$2$条射线和$n-2$条线段，而每条射线和线段将已有的区域分成二分。这样就会多出$2+(n-2)$个区域，即$f(n)=f(n-1)+n$。

   所以，我们也可简化$f(n)=f(n-1)+n=f(n-2)+n-1+n=f(0)+1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}+1$。

2. $n$条折线最多可以把平面分成多少个区域

   了解了上面的直线分平面可知，由交点决定射线和线段的条数，进而决定新增的区域数。当平面有$n-1$条折线时，区域数最多有$f(n-1)$。则要使新增的平面区域最多，则第$n$条折线的两条边要和$n-1$条折线相交，则新增的线段数为$4(n-1)$，射线数为$2$。但是我们要注意，折线的顶点部分只增加一个区域，则$f(n)=f(n-1)+4(n-1)+2-1$，化简后得$f(n)=2\times n^2-n+1$。

3. $n$条封闭曲线最多可以把平面分成多少个区域（要使区域最多，则任何两条封闭曲线恰好相较于两点，且任何三条封闭曲线不相交与一点）

   当平面有$n-1$条封闭曲线时，区域数最多有$f(n-1)$。则要使新增的平面区域最多，则第$n$个封闭曲线必须要和$n-1$条封闭曲线相交，则新增的线段数为$2(n-1)$，新增了$2(n-1)$个 区域。则$f(n)=f(n-1)+2(n-1)$，化简后得$f(n)=n^2-n+2$。

4. 平面分割空间问题

   由二维的分割问题分析可知，平面分割与线之间的交点有关，即交点决定射线和线段的条数，从而决定新增的区域数。类比以下，在三维空间中的分割是否与平面的线段有关？当有$n-1$个平面，分割的空间数为$f(n-1)$。要是新增的空间数最多，则第$n$个平面需要与前$n-1$个平面相交，且不能有公共的交线，即最多会有$n-1$条交线把第$n$个平面最多分成$g(n-1)$个区域（$g(n)$为$1$中的直线切割平面的个数），这个平面将空间分割，则最多新增空间$g(n-1)$个。则$f(n)=f(n-1)+g(n-1),g(n)=\frac{n(n+1)}{2}+1$，故，$f(n)=\frac{n^3+5\times n}{6}+1$。