PID控制算法
目录
- 前言
- 原理
-
- 公式推导
- 位置式PID
- 增量式PID
- PID性能指标
-
- 超调量
- 调节时间
- 震荡频率
- 上升时间
- PID算法改进
-
- 上下限设定法
- 死区设定法
- 积分部分改进
- 微分部分改进
- 不完全微分法
- 微分先行法
前言
PID即：Proportional（比例）、Integral（积分）、Differential（微分）的缩写。PID控制算法是结合比例、积分和微分三种环节于一体的控制算法。PID是闭环控制算法中最简单的一种，常应用于温度、电机控制等等。
原理
公式推导
PID公式：
u ( t ) = K p [ e ( t ) + 1 T i ∫ 0 t e ( t ) d t + T d d e ( t ) d t ] (1) u(t) = K_p[e(t) + \frac{1}{T_i}\int_0^t {e(t)}\,{\rm d}t + T_d \frac{{\rm d}e(t)}{{\rm d}t}] \tag{1} u(t)=Kp[e(t)+Ti1∫0te(t)dt+Tddtde(t)](1)
其中 K p K_p Kp为比例系数， T i T_i Ti为积分时间， T d T_d Td为微分时间。
看公式就可以看出这是比例部分、积分部分和微分部分的加和，因此称为PID(proportion, integration, differential)。
在实际应用中，我们需要将该连续公式转化为离散公式，因此我们需要进行一下替换：
连续时间t ⟶ \longrightarrow ⟶ 采样时间kT
积分 ⟶ \longrightarrow ⟶ 求和: ∫ 0 t e ( t ) d t \int_0^t {e(t)}\,{\rm d}t ∫0te(t)dt ⟶ \longrightarrow ⟶ T ∑ j = 0 k e ( j T ) T\sum_{j=0}^k e(jT) T∑j=0ke(jT)
微分 ⟶ \longrightarrow ⟶ 单位差值： d e ( t ) d t \frac{{\rm d}e(t)}{{\rm d}t} dtde(t) ⟶ \longrightarrow ⟶ e k − e k − 1 T \frac{e_k - e_{k-1}}{T} Tek−ek−1
因为我们得到离散化的公式：
u ( k ) = K p e ( k T ) + K i ∑ j = 0 k e ( j T ) + K d ( e ( k T ) − e ( ( k − 1 ) T ) ) (2) u(k) = K_pe(kT) + K_i\sum_{j=0}^ke(jT) + K_d(e(kT) - e((k-1)T)) \tag{2} u(k)=Kpe(kT)+Kij=0∑ke(jT)+Kd(e(kT)−e((k−1)T))(2)
其中 K i = K p T T i K_i = \frac{K_pT}{T_i} Ki=TiKpT， K d = K p T d T Kd = \frac{K_pT_d}{T} Kd=TKpTd。
位置式PID
上面得到的公式，计算的值就是位置式PID，是当前负载应该输出的值。
比例项是对输出量起决定性作用的，当前值与目标值差值越大，则比例项越大。
需要注意的是，公式中包含积分成分，因此仅适用于不包含积分效果的负载，即实时响应的，比如发热块。
并且在使用时，需要设置积分最大值，因为当误差一直为正时，积分项一直在累加，会导致积分项很大，当误差为负时，此时积分项不能及时减去，导致超调。
微分项的作用是抑制变化，误差为正时，微分项为负，误差为负时，微分项为正。微分具有预测的功能，它体现的是检测值的变化趋势，适当的值有利于稳定目标值。
注：在调整PID参数时，应该先调P，再调I，最后调整D。
增量式PID
顾名思义增量式就是当前输出量相比上一刻的输出量应该增加的值。
由公式2可以得出上一刻的公式：
u ( k − 1 ) = K p e ( ( k − 1 ) T ) + K i ∑ j = 0 k − 1 e ( j T ) + K d ( e ( ( k − 1 ) T ) − e ( ( k − 2 ) T ) ) (3) u(k-1) = K_pe((k-1)T) + K_i\sum_{j=0}^{k-1}e(jT) + K_d(e((k-1)T) - e((k-2)T)) \tag{3} u(k−1)=Kpe((k−1)T)+Kij=0∑k−1e(jT)+Kd(e((k−1)T)−e((k−2)T))(3)
公式2和公式3相减得到：
△ u ( k ) = K p ( e ( k T ) − e ( ( k − 1 ) T ) ) + k i e k + K d ( e ( k ) − 2 e ( ( k − 1 ) T ) + e ( ( k − 2 ) T ) ) (4) \bigtriangleup u(k) = K_p(e(kT) - e((k-1)T)) + k_ie_k + K_d(e(k) - 2e((k-1)T) + e((k-2)T)) \tag{4} △u(k)=Kp(e(kT)−e((k−1)T))+kiek+Kd(e(k)−2e((k−1)T)+e((k−2)T))(4)
可以看出输出结果只与k, k-1, k-2时刻的反馈值有关，无积分作用。并且是作用于上一刻的控制量上的增加量。
增量式PID可以应用于带有积分结构的负载。
PID性能指标
在使用PID控制时，我们需要估算此时使用的PID参数实际应用的性能如何，能否达到要求，一般从以下3点观察。
超调量
顾名思义，超调量就是实际的反馈值超过设定值的量，它所占整个调整量的百分比。
从图中可以看出，最大动态偏差（第一个波峰超过设定值的幅度）差不多是0.16，那么超调量为0.16/1 = 16%。
调节时间
调节时间是指从调整开始到稳态误差在要求范围内，所需要的时间，调节时间越短越好。
上图的调节时间大约在50左右。
震荡频率
震荡频率表现的是系统调整的速度，一般来说震荡频率越快越好，最后趋于平稳。
上升时间
上升时间是指实际值第一次达到设定值的时间，即快速上升阶段的时间，时间越短越好。
PID算法改进
实际使用过程中，PID会有较大的局限性，导致调参过程中，根本无法达到要求，因此我们需要根据实际情况，进行改进。下面介绍几种常用的改进方法。
上下限设定法
有些场景下，并不希望全开或者全关，因此我们需要设置最大输出值和最小输出值， u m i n ≤ u ( t ) ≤ u m a x u_{min} \leq u(t) \leq u_{max} umin≤u(t)≤umax。
死区设定法
有时候，因为PID不断地调节，使得输出曲线不断震荡，当我们需要一个平稳的曲线时，我们可以在一段区间内，使负载不受PID控制，由固定功率运行，在区间外则重新受PID控制。
积分部分改进
我们知道积分部分是历史误差的和，既可以提高系统的响应速度，又可以帮助系统消除稳态误差。
当前值小于设定值时，积分项一直在累加，此时帮助输出值能够更快得达到设定值；但是当前值等于设定值时，比例项为0，积分项达到最大值，仍然会有输出，它会增大系统的超调量。
在当前值大于设定值时，积分项开始减小，帮助系统回到设定值。在只有比例项时，系统的振动幅度往往很大，加入积分项后，可以使系统更加稳定。
为了减小积分部分对超调量的影响，我们可以做出以下改进：
设置积分项上限：在第一个上升阶段，有较长的时间处于低于设定值的状态，积分项增加的很快，当当前值大于设定值时，又不能及时地减去积分项，因此我们可以设定一个积分项的最大值，使得积分项不至于累加过大。
设置积分有效区间：上面这种情况，我们也可以设置积分的有效区间，当当前值与设定值差值过大时，积分不进行累加，只有差值在一定的范围内时，积分开始累加，这样积分项不会累加的过大。也可以将在差值过大时的积分系数减小，达到相同的效果。
微分部分改进
微分部分是抑制系统输出值变化的，使系统更加稳定。它的趋势预测能力也可以帮助控制一些反馈滞后的系统，比如温度控制系统。但是微分部分往往是直接加上的，并且只持续一个时间周期，使得系统并不能稳定，且抗干扰能力减弱。
因此我们需要对微分部分进行一些改进措施：
不完全微分法
我们可以加入低通滤波器的方法，将微分项变得平缓一点。
传递函数为：
H ( j w ) = V o u t V i n = 1 j w C R + 1 j w C = 1 1 + j w R C (5) H(jw) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{\frac{1}{jwC}}{R + \frac{1}{jwC}} = \frac{1}{1 + jwRC} \tag{5} H(jw)=VinVout=R+jwC1jwC1=1+jwRC1(5)
s = j w s = jw s=jw，则
H ( s ) = 1 1 + s R C (6) H(s) = \frac{1}{1 + sRC} \tag{6} H(s)=1+sRC1(6)
对s进行Z变化，这里采用一阶向后差分的方法：
s = 1 − z − 1 T (7) s = \frac{1 - z^{-1}}{T} \tag{7} s=T1−z−1(7)
推导过程如下：
令 U ( s ) E ( s ) = 1 s \frac{U(s)}{E(s)} = \frac{1}{s} E(s)U(s)=s1，对其进行微分可以得到
d u ( t ) d t = u ( k T ) − u [ ( k − 1 ) T ] T = e ( t ) (8) \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t} = \frac{u(kT) - u[(k-1)T]}{T} = e(t) \tag{8} dtdu(t)=Tu(kT)−u[(k−1)T]=e(t)(8)
那么
u ( k T ) = u [ ( k − 1 ) T ] + T e ( k T ) (9) u(kT) = u[(k-1)T] + Te(kT) \tag{9} u(kT)=u[(k−1)T]+Te(kT)(9)
Z变换：
U ( z ) = z − 1 U ( z ) + T E ( z ) (10) U(z) = z^{-1}U(z) + TE(z) \tag{10} U(z)=z−1U(z)+TE(z)(10)
则
s = E ( s ) U ( s ) = E ( z ) U ( z ) = 1 − z − 1 T (11) s = \frac{E(s)}{U(s)} = \frac{E(z)}{U(z)} = \frac{1-z^{-1}}{T} \tag{11} s=U(s)E(s)=U(z)E(z)=T1−z−1(11)
带入公式(6)可以得到
H ( s ) = 1 1 + 1 − z − 1 T R C = T T + ( 1 − z − 1 ) R C (12) H(s) = \frac{1}{1 + \frac{1-z^{-1}}{T}RC} = \frac{T}{T + (1-z^{-1})RC} \tag{12} H(s)=1+T1−z−1RC1=T+(1−z−1)RCT(12)
Z逆变换后
( T + R C ) V o u t ( n ) − R C V o u t ( n − 1 ) = T V i n ( n ) (13) (T + RC)V_{out}(n) - RCV_{out}(n-1) = TV_{in}(n) \tag{13} (T+RC)Vout(n)−RCVout(n−1)=TVin(n)(13)
⇒ V o u t ( n ) = T V i n ( n ) + R C V o u t ( n − 1 ) T + R C = V o u t ( n − 1 ) + T T + R C ( V i n ( n ) − V o u t ( n − 1 ) ) (14) \begin{aligned} \Rightarrow V_{out}(n) = \frac{TV_{in}(n) + RCV_{out}(n-1)}{T + RC} \\ = V_{out}(n-1) + \frac{T}{T + RC}(V_{in}(n) - V_{out}(n-1)) \tag{14} \end{aligned} ⇒Vout(n)=T+RCTVin(n)+RCVout(n−1)=Vout(n−1)+T+RCT(Vin(n)−Vout(n−1))(14)
令 α = T T + R C \alpha = \frac{T}{T + RC} α=T+RCT，则
V o u t ( n ) = α V i n ( n ) + ( 1 − α ) V o u t ( n − 1 ) (15) V_{out}(n) = \alpha V_{in}(n) + (1 - \alpha)V_{out}(n-1) \tag{15} Vout(n)=αVin(n)+(1−α)Vout(n−1)(15)
将这个公式转换到PID微分项可以得到
U d ( k ) = α K d [ e ( k ) − e ( k − 1 ) ] + ( 1 − α ) U d ( k − 1 ) (16) U_d(k) = \alpha K_d [e(k) - e(k-1)] + (1 - \alpha)U_d(k-1) \tag{16} Ud(k)=αKd[e(k)−e(k−1)]+(1−α)Ud(k−1)(16)
α \alpha α的取值为0~1，越小，滤波效果越大，当 α = 0 \alpha = 0 α=0时，没有微分效果，当 α = 1 \alpha = 1 α=1时，是没有滤波的微分，即完全微分。
根据实际情况，选择合适的 α \alpha α值。
公式(16)是位置式PID的微分算法，下面计算一下差值，即可得到增量式PID微分算法
△ U d ( k ) = α K d [ e ( k ) − e ( k − 1 ) ] − α U d ( k − 1 ) (17) \bigtriangleup U_d(k) = \alpha K_d [e(k) - e(k-1)] - \alpha U_d(k-1) \tag{17} △Ud(k)=αKd[e(k)−e(k−1)]−αUd(k−1)(17)
微分先行法
前面的改善方法都是在设定值不变的情况，但是如果需要不断改变设定值的情况，使得被控量以一定规律波动。
以前面的方法，是对被控量与设定值的差值进行微分，设定值频繁改变时，微分项会产生较大的突变，影响系统稳定。
因此我们这里只对被控量进行微分，对设定值不进行微分。
我们令微分部分的传递函数为
U d ( s ) Y ( s ) = T d s + 1 γ T d s + 1 0 < γ < 1 (18) \frac{U_d(s)}{Y(s)} = \frac{T_ds + 1}{\gamma T_ds + 1} \qquad 0 < \gamma < 1 \tag{18} Y(s)Ud(s)=γTds+1Tds+10<γ<1(18)
则
γ T d d u ( t ) d t + u ( t ) = T d d y ( t ) d t + y ( t ) (19) \gamma T_d \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t} + u(t) = T_d \frac{{\rm d}y(t)}{{\rm d}t} + y(t) \tag{19} γTddtdu(t)+u(t)=Tddtdy(t)+y(t)(19)
将微分部分一阶滞后差分：
d u ( t ) d t = u ( k ) − u ( k − 1 ) T (20) \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t} = \frac{u(k) - u(k-1)}{T} \tag{20} dtdu(t)=Tu(k)−u(k−1)(20)
d y ( t ) d t = y ( k ) − y ( k − 1 ) T (21) \frac{{\rm d}y(t)}{{\rm d}t} = \frac{y(k) - y(k-1)}{T} \tag{21} dtdy(t)=Ty(k)−y(k−1)(21)
带入到公式(19)中得到：
u d ( k ) = γ T d γ T d + T u d ( k − 1 ) + T d + T γ T d + T y ( k ) − T d γ T d + T y ( k − 1 ) (22) u_d(k) = \frac{\gamma T_d}{\gamma T_d + T} u_d(k-1) + \frac{T_d + T}{\gamma T_d + T} y(k) - \frac{T_d}{\gamma Td + T} y(k-1) \tag{22} ud(k)=γTd+TγTdud(k−1)+γTd+TTd+Ty(k)−γTd+TTdy(k−1)(22)
将 K d = K p T d T K_d = \frac{K_pT_d}{T} Kd=TKpTd带入到上式中得到：
u d ( k ) = γ K d γ K d + K p u d ( k − 1 ) + K d + K p γ K d + K p y ( k ) − K d γ K d + K p y ( k − 1 ) (23) u_d(k) = \frac{\gamma K_d}{\gamma K_d + K_p} u_d(k-1) + \frac{K_d + K_p}{\gamma K_d + K_p} y(k) - \frac{K_d}{\gamma K_d + K_p} y(k-1) \tag{23} ud(k)=γKd+KpγKdud(k−1)+γKd+KpKd+Kpy(k)−γKd+KpKdy(k−1)(23)
上式为位置式PID的微分项，增量式PID的微分项如下：
△ u d ( k ) = − K p γ K d + K p u d ( k − 1 ) + K d + K p γ K d + K p y ( k ) − K d γ K d + K p y ( k − 1 ) (24) \bigtriangleup u_d(k) = -\frac{K_p}{\gamma K_d + K_p} u_d(k-1) + \frac{K_d + K_p}{\gamma K_d + K_p} y(k) - \frac{K_d}{\gamma K_d + K_p} y(k-1) \tag{24} △ud(k)=−γKd+KpKpud(k−1)+γKd+KpKd+Kpy(k)−γKd+KpKdy(k−1)(24)