C++ 数塔问题 动态规划入门

C++ 数塔问题 动态规划入门

问题描述

数塔问题：
问题描述：
将一些数字排成数塔现状，期中第n层又n个数
每次只能向下一层连接的数字中的一个
问：将路径上所有数字相加后得到的最大和是多少

样例1：
输入：
5
5
8 3
12 7 16
4 10 11 6
9 5 3 9 4
输出：
44
样例一图如下：

样例2：
输入：
5
9
12 15
10 6 8
2 18 9 5
19 7 10 4 16
输出：
59

分析：

本题可直接采用递归手段，暴力穷举所有的情况并在同时比较最大值

递归法

#include
using namespace std;
int num=0;//全局变量 
int MaxSum=0;//全局变量 
void GetMaxSum(int **arr,int i,int j,int sum){//i,j表示现在进行的(行-1)和(列-1) 
	(MaxSum>sum)?	:MaxSum=sum;//刷新最大值	
	if(i<num){
		GetMaxSum(arr,i+1,j,sum+arr[i][j]); //往靠左下连接处做加法 
		GetMaxSum(arr,i+1,j+1,sum+arr[i][j]);//往靠右下连接处做加法 
	}
}
int main(){
	cin>>num;
	int **arr; //定义二维指针 (可用数组代替)
	arr=new int*[num];//动态分配空间 
	for(int i=0;i<num;i++){
		arr[i]=new int[num];
	}
	for(int i=0;i<num;i++){//数据读入 
		for(int j=0;j<=i;j++){
			cin>>arr[i][j];
		}
	}
	GetMaxSum(arr,0,0,0);//函数调用 
	cout<<MaxSum;
	
	for(int i=0;i<num;i++){//先删除一维指针，再删除二维指针 
		delete[]arr[i];
	}
	delete []arr;
	return 0;
} 

因为每层中数字有两个分支，因此时间复杂度为O（2^n），在n很大情况下无法接受，加上我要描述的是动态规划的思路，所以：

动规法：

但采用自底而上的思路：每一次都是靠左下和靠右下的值中大者加上该位置的值，最后只需要给出第一层的值即可
即arr[n-1][i]=MAX(arr[n][i],arr[n][i+1])+arr[n-1][i] ;

#include
using namespace std;
int MAX(int a,int b){//MAX函数求最大值 
	if(a>b){
		return a;
	}
	else{
		return b;
	}
}
int GetMaxSum(int **arr,int n){//n表示当前进行层数 （从第num-1到0阶） 
	if(n==0){//终止条件
		return arr[0][0];
	}
	else{
		for(int i=0;i<n;i++){
			arr[n-1][i]+=MAX(arr[n][i],arr[n][i+1]); //下一层数据中的大值加上该数据 
		}
		GetMaxSum(arr,n-1);//遍历所有层  
	}
}

int main(){
	int num;
	cin>>num;
	int **arr; //定义二维指针 
	arr=new int*[num];//动态分配空间 
	for(int i=0;i<num;i++){
		arr[i]=new int[num];
	}
	for(int i=0;i<num;i++){//数据读入 
		for(int j=0;j<=i;j++){
			cin>>arr[i][j];
		}
	}
	cout<<GetMaxSum(arr,num-1);//函数调用 
	for(int i=0;i<num;i++){//先删除一维指针，再删除二维指针 
		delete[]arr[i];
	}
	delete []arr;
	return 0;
} 

相关书籍：《算法笔记》
算法笔记参考代码段：

若有不妥，请指正，谢。