高等流体力学 第二章 流体力学基础
第二章 流体力学基础
2.1 连续介质假设
流体力学基本建立在最基本的假设之上——连续介质假设
假设内容：
- 真实流体由流体质点连续无间隙充满着
- 每个空间点上、每个时刻都有确定的宏观物理量
- 这些物理量均为空间，时间的连续函数，除了个别的点线面外
*流体质点是微观无穷大，宏观无穷小的流体单元
使用无量纲量判断：
可使用条件：
K n = λ L < 0.001 {K_n} = \frac{\lambda }{L} < 0.001 Kn=Lλ<0.001
λ \lambda λ是平均自由程， L L L是所研究对象的特征尺寸。
2.2 流体的性质和分类
流体的性质：
- 易流动性
- 粘性
- 可压缩性
流体的分类：
- 牛顿流体、非牛顿流体
- 理想流体、粘性流体
- 可压缩流体、不可压缩流体
2.3 流体运动的两种描述
2.3.1 拉格朗日法
r ⃗ ( a , b , c , t ) = 0 \vec r(a,b,c,t)=0 r(a,b,c,t)=0
2.3.2 欧拉法
定常/非定常是针对欧拉表述下的
r ⃗ ( x , y , z , t ) = 0 \vec r(x,y,z,t) = 0 r(x,y,z,t)=0
2.4 流体运动的可视化
2.4.1 迹线
d x u = d y v = d z w = d t \frac{{{\rm{d}}x}}{u} = \frac{{{\rm{d}}y}}{v} = \frac{{{\rm{d}}z}}{w} = {\rm{d}}t udx=vdy=wdz=dt
t t t是自变量。
2.4.2 流线
d x u = d y v = d z w \frac{{{\rm{d}}x}}{u} = \frac{{{\rm{d}}y}}{v} = \frac{{{\rm{d}}z}}{w} udx=vdy=wdz
t t t是参数，积分时当作常数。
2.4.3 脉线
先求迹线方程，再使用变量替换 （ x 0 , y 0 , z 0 ) 替 换 ( x , y , z ) , s 替 换 t （x_0,y_0,z_0)替换(x,y,z),s替换t （x0,y0,z0)替换(x,y,z),s替换t
2.4.4 时间线
每一个时刻拍下流场中烟线的变化情况称为时间线。
2.5 应力张量，速度梯度，应变率张量，旋转张量
速度梯度的概念，矢量的梯度是一个二阶张量
D i j = [ ∂ u ∂ x ∂ u ∂ y ∂ u ∂ z ∂ v ∂ x ∂ v ∂ y ∂ v ∂ z ∂ w ∂ x ∂ w ∂ y ∂ w ∂ z ] = [ ∇ v ⃗ ] T D_{i j}=\left[\begin{array}{lll}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\nabla \vec{v}\end{array}\right]^{T} Dij=⎣⎢⎡∂x∂u∂x∂v∂x∂w∂y∂u∂y∂v∂y∂w∂z∂u∂z∂v∂z∂w⎦⎥⎤=[∇v]T
这里写成其转置的形式。
任何一个量都可以分解为对称形式和反对称形似:
D i j = ∂ u i ∂ x j = 1 2 ( ∂ u i ∂ x j + ∂ u j ∂ x i ) + 1 2 ( ∂ u i ∂ x j − ∂ u j ∂ x i ) {D_{ij}} = \frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} - \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}}} \right) Dij=∂xj∂ui=21(∂xj∂ui+∂xi∂uj)+21(∂xj∂ui−∂xi∂uj)
前一项记为 S i j S_{ij} Sij，为应变率张量，表示剪切变形，第二项记为 Ω i j \Omega _{ij} Ωij，为旋转张量，表示旋转变形。
2.6 亥姆霍兹速度分解定理
任一点的速度可以展开求得其他邻域内的点的速度，称为亥姆霍兹速度分解定理。
v ⃗ q = v ⃗ p + δ v ⃗ = v ⃗ p + δ x ∂ v ⃗ ∂ x + δ y ∂ v ⃗ ∂ y + δ z ∂ v ⃗ ∂ z = v ⃗ p + 1 2 ( ∇ × v ⃗ ) × δ r ⃗ + S ⋅ δ r ⃗ \begin{aligned} \vec{v}{q} &=\vec{v}{p}+\delta \vec{v}=\vec{v}{p}+\delta x \frac{\partial \vec{v}}{\partial x}+\delta y \frac{\partial \vec{v}}{\partial y}+\delta z \frac{\partial \vec{v}}{\partial z} \\ &=\vec{v}{p}+\frac{1}{2}(\nabla \times \vec{v}) \times \delta \vec{r}+\mathbf{S} \cdot \delta \vec{r} \end{aligned} vq=vp+δv=vp+δx∂x∂v+δy∂y∂v+δz∂z∂v=vp+21(∇×v)×δr+S⋅δr
2.7 漩涡的基本概念
2.7.1 漩涡运动的基本概念
定义流体的速度的旋度为流场的涡量 ω = ∇ × v {\bf{\omega }} = \nabla \times {\bf{v}} ω=∇×v
ω \bf{\omega} ω也是一个矢量场，称为涡量场，涡量场可以给出类似流场的表述形式，如涡线，类比流线：
d x ω x = d y ω y = d z ω z \frac{{dx}}{{{\omega _x}}} = \frac{{dy}}{{{\omega _y}}} = \frac{{dz}}{{{\omega _z}}} ωxdx=ωydy=ωzdz
涡面，涡管都可以类比流面，流管的概念。
涡通量 在流场中，涡量在某一曲面上的积分称为涡通量。
J = ∫ ∫ ω ⋅ d A J = \int\!\!\!\int {\boldsymbol{\omega }} \cdot {\rm{d}}{\bf{A}} J=∫∫ω⋅dA
涡管强度 取涡管的一个横截面上的涡通量。
速度环量 对流场中某时刻的封闭曲线做线积分
Γ = ∮ L v ⋅ d l \Gamma = \oint_L {{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}{\bf{l}}} Γ=∮Lv⋅dl
由斯托克斯定理可得
Γ = ∮ L v ⋅ d l = ∫ ∫ ω ⋅ d A \Gamma = \oint_L {{\bf{v}} \cdot {\rm{d}}{\bf{l}}} =\int\!\!\!\int {\boldsymbol{\omega }} \cdot {\rm{d}}{\bf{A}} Γ=∮Lv⋅dl=∫∫ω⋅dA
微分形式
d Γ d A = ω n \frac{{{\rm{d}}\Gamma }}{{{\rm{dA}}}} = {\omega _n} dAdΓ=ωn
2.7.2 漩涡运动的基本性质
对欧拉方程取旋得到
d ω d t − ( ω ⋅ ∇ ) v + ω ( ∇ ⋅ v ) = ∇ × f + 1 ρ 2 ∇ ρ × ∇ p \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v})=\nabla \times \mathbf{f}+\frac{1}{\rho^{2}} \nabla \rho \times \nabla p dtdω−(ω⋅∇)v+ω(∇⋅v)=∇×f+ρ21∇ρ×∇p
这就是无粘流体涡量必须满足的方程
若体力有势，且流体正压，则可以写成
d ω d t − ( ω ⋅ ∇ ) v + ω ( ∇ ⋅ v ) = 0 \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d} t}-(\boldsymbol{\omega} \cdot \nabla) \mathbf{v}+\boldsymbol{\omega}(\nabla \cdot \mathbf{v})=0 dtdω−(ω⋅∇)v+ω(∇⋅v)=0
由此可以得到开尔文定律——正压无粘流体在体力有势时，沿着封闭流体线的速度环量在流动过程中保持不变
d Γ d t = ∮ L v d t ⋅ d l = 0 \frac{{{\rm{d}}\Gamma }}{{{\rm{d}}t}} = \oint_L {\frac{{\bf{v}}}{{{\rm{d}}t}} \cdot {\rm{d}}{\bf{l}}} = 0 dtdΓ=∮Ldtv⋅dl=0
由此条性质可以得到Lagrange定理：
在体力有势、流体正压的条件下，无粘流体若在某一时刻无旋，则该流体运动就永远无旋。漩涡不会产生，也不会消失。
和亥姆霍兹涡线、涡面、涡管保持定理（亥姆霍兹第一定理）：
在某一时刻组成涡面、涡管的流体质点在其他时刻也仍在组成涡面和涡管。
d Γ d t = d J d t \frac{{{\rm{d}}\Gamma }}{{{\rm{d}}t}}=\frac{{{\rm{d}}J }}{{{\rm{d}}t}} dtdΓ=dtdJ
涡管强度保持不变时亥姆霍兹第二定理，表面涡管只能在流场的边界开始或结束。
2.8 势函数和流函数
1 势函数
当流体无旋时，满足 ∇ × v = 0 \nabla \times {\bf{v}} = 0 ∇×v=0
由张量分析得知 梯度的散度等于0，即 ∇ × ( ∇ φ ) = 0 \nabla \times (\nabla \varphi ) = 0 ∇×(∇φ)=0
因此，流体无旋时，速度有势。
u = ∂ φ ∂ x ， v = ∂ φ ∂ y , w = ∂ φ ∂ z u = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}}，v = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}},w = \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} u=∂x∂φ，v=∂y∂φ,w=∂z∂φ
且势函数是调和函数，流动为不可压缩时，满足Laplace方程
Δ φ = 0 \Delta \varphi = 0 Δφ=0
2 流函数
流函数只适用于二维，不可压缩。
天然满足不可压缩的条件
∇ ⋅ v = 0 \nabla \cdot {\rm{v}}=0 ∇⋅v=0
u = ∂ ψ ∂ y 、 v = − ∂ ψ ∂ x u = \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}}、v = -\frac{{\partial \psi }}{{\partial x}} u=∂y∂ψ、v=−∂x∂ψ
同时当流体无旋时，满足Laplace方程
Δ ψ = 0 \Delta \psi = 0 Δψ=0
当流体有旋时，不满足Laplace方程
Δ ψ = − ω \Delta \psi = -\omega Δψ=−ω
2.9 应力张量、主应力、主平面、主轴
某一个面的应力张量的求法
T ⃗ i = σ i j n j \vec T_i = {\sigma _{ij}}{n_j} Ti=σijnj
求特征值就是求主应力
T ⃗ ( n ⃗ ) = σ n ⃗ σ i j n j = σ n ⃗ i ( σ i j − σ δ i j ) n j = 0 ∣ σ i j − σ δ i j ∣ = 0 \begin{array}{l} \vec T(\vec n) = \sigma \vec n\\ {\sigma _{ij}}{n_j} = \sigma {{\vec n}_i}\\ ({\sigma _{ij}} - \sigma {\delta _{ij}}){n_j} = 0\\ \left| {{\sigma _{ij}} - \sigma {\delta _{ij}}} \right| = 0 \end{array} T(n)=σnσijnj=σni(σij−σδij)nj=0∣σij−σδij∣=0
2.10 （雷诺）输运定理
d d t ∫ V L ( x ⃗ , t ) d V ( x ⃗ ) = d d t ∫ V 0 L ( x ⃗ ( a ⃗ ) , t ) J d V ( a ⃗ ) = ∫ V 0 d d t [ L ( x ⃗ ( a ⃗ ) , t ) J ] d V ( a ⃗ ) = ∫ V 0 ( J d d t L + L d J d t ) d V ( a ⃗ ) = ∫ V 0 ( J d d t L + L J ∇ ⋅ v ⃗ ) d V ( a ⃗ ) = ∫ V ( d L d t + L ∇ ⋅ v ⃗ ) d V ( x ⃗ ) = ∫ V [ ∂ L ∂ t + ∇ ⋅ ( L v ⃗ ) ] d V ( x ⃗ ) \begin{aligned}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{V} L(\vec{x}, t) \mathrm{d} V(\vec{x}) &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int_{V_{0}} L(\vec{x}(\vec{a}), t) J \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V_{0}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[L(\vec{x}(\vec{a}), t) J] \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V_{0}}\left(J \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} L+L \frac{\mathrm{d} J}{\mathrm{d} t}\right) \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V_{0}}\left(J \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} L+L J \nabla \cdot \vec{v}\right) \mathrm{d} V(\vec{a}) \\&=\int_{V}\left(\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} t}+L \nabla \cdot \vec{v}\right) \mathrm{d} V(\vec{x}) \\&=\int_{V}\left[\frac{\partial L}{\partial t}+\nabla \cdot(L \vec{v})\right] \mathrm{d} V(\vec{x})\end{aligned} dtd∫VL(x,t)dV(x)=dtd∫V0L(x(a),t)JdV(a)=∫V0dtd[L(x(a),t)J]dV(a)=∫V0(JdtdL+LdtdJ)dV(a)=∫V0(JdtdL+LJ∇⋅v)dV(a)=∫V(dtdL+L∇⋅v)dV(x)=∫V[∂t∂L+∇⋅(Lv)]dV(x)
连续方程、动量方程、动能方程可以统一左边的格式。
2.11 流体运动的控制方程
- 连续方程 L ( x ⃗ , t ) = ρ L(\vec{x}, t)=\rho L(x,t)=ρ
- 动量方程 L ( x ⃗ , t ) = ρ v L(\vec{x}, t)=\rho v L(x,t)=ρv
- 能量方程 L ( x ⃗ , t ) = ( 1 2 ρ v 2 + ρ ε ) L(\vec{x}, t)=(\frac{1}{2}\rho v^2+\rho \varepsilon ) L(x,t)=(21ρv2+ρε)
加上状态方程、本构关系、热力学方程即可组成完备的流体力学控制方程
∂ t ρ + ∇ ⋅ ( ρ v ⃗ ) = 0 ∂ t v i + v j ∂ j v i = f i + ∂ j σ i j / ρ ∂ t ε + v j ∂ j ε = ( σ i j ∂ j u i − ∂ j q j ) / ρ + Q f ( p , ρ , T ) = 0 σ i j = − p δ i j + 2 μ S i j + λ S k k δ i j ε ∼ T q ⃗ ∼ ∇ T \begin{array}{l}\partial_{t} \rho+\nabla \cdot(\rho \vec{v})=0 \\\partial_{t} v_{i}+v_{j} \partial_{j} v_{i}=f_{i}+\partial_{j} \sigma_{i j} / \rho \\\partial_{t} \varepsilon+v_{j} \partial_{j} \varepsilon=\left(\sigma_{i j} \partial_{j} u_{i}-\partial_{j} q_{j}\right) / \rho+Q \\f(p, \rho, T)=0 \\\sigma_{i j}=-p \delta_{ i j}+2 \mu S_{i j}+\lambda S_{k k} \delta_{i j} \\\varepsilon \sim T \\\vec{q} \sim \nabla T\end{array} ∂tρ+∇⋅(ρv)=0∂tvi+vj∂jvi=fi+∂jσij/ρ∂tε+vj∂jε=(σij∂jui−∂jqj)/ρ+Qf(p,ρ,T)=0σij=−pδij+2μSij+λSkkδijε∼Tq∼∇T