14.1 矩阵幂级数

矩阵的幂

  现在讨论下矩阵的n次方的问题，比如下面的矩阵：
A 1 = ( 2 1 − 1 1 2 − 1 − 1 − 1 2 ) A 2 = ( 6 5 − 5 5 6 − 5 − 5 − 5 6 ) A 3 = ( 22 21 − 21 21 22 − 21 − 21 − 21 22 )   A^ 1 = \begin{pmatrix}2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & -1\\ -1 & -1 & 2\\ \end{pmatrix}\\ A^ 2 = \begin{pmatrix}6 & 5 & -5\\ 5 & 6 & -5\\ -5 & -5 & 6\\ \end{pmatrix}\\ A^ 3 = \begin{pmatrix}22 & 21 & -21\\ 21 & 22 & -21\\ -21 & -21 & 22\\ \end{pmatrix}\\\ A1= ​21−1​12−1​−1−12​ ​A2= ​65−5​56−5​−5−56​ ​A3= ​2221−21​2122−21​−21−2122​ ​ 
  后面的我就不算下去了，越算越大。再看看这个矩阵：
A 1 = ( 0.1 0.2 0 0.5 0.5 0.5 0 0.2 0.5 ) A 2 = ( 0.11 0.12 0.1 0.3 0.45 0.5 0.1 0.2 0.35 ) A 3 = ( 0.071 0.102 0.11 0.255 0.385 0.475 0.11 0.19 0.275 ) A 4 = ( 0.058 0.087 0.106 0.218 0.338 0.43 0.106 0.172 0.232 ) ⋮ A ∞ = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A^ 1 = \begin{pmatrix}0.1 & 0.2 & 0\\ 0.5 & 0.5 & 0.5\\ 0 & 0.2 & 0.5\\ \end{pmatrix} \\ A^ 2 = \begin{pmatrix}0.11 & 0.12 & 0.1\\ 0.3 & 0.45 & 0.5\\ 0.1 & 0.2 & 0.35\\ \end{pmatrix} \\ A^ 3 = \begin{pmatrix}0.071 & 0.102 & 0.11\\ 0.255 & 0.385 & 0.475\\ 0.11 & 0.19 & 0.275\\ \end{pmatrix} \\ A^ 4 = \begin{pmatrix}0.058 & 0.087 & 0.106\\ 0.218 & 0.338 & 0.43\\ 0.106 & 0.172 & 0.232\\ \end{pmatrix} \\ \vdots\\ A^ {\infty} = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} A1= ​0.10.50​0.20.50.2​00.50.5​ ​A2= ​0.110.30.1​0.120.450.2​0.10.50.35​ ​A3= ​0.0710.2550.11​0.1020.3850.19​0.110.4750.275​ ​A4= ​0.0580.2180.106​0.0870.3380.172​0.1060.430.232​ ​⋮A∞= ​000​000​000​ ​
  就可以看到，数字越来越小了。为什么有的矩阵的幂越来越大，有的却越来越小呢？这是由什么决定的呢？

矩阵幂的极限

  矩阵的幂的极限由什么确定？是由矩阵的谱半径$\rho (A)$决定的。那么什么是矩阵的谱半径？谱半径的定义是矩阵所有的特征值的模长的最大值。那么为什么会是这样？如果学习了约当标准型就很容易理解了，对于任意一个矩阵，都可以求出它的约当标准型，也就是$A=P^{-1}JP$,那么就可以这样计算了：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(P^{-1}{J}^{n}P)=P^{-1}(\underset{n\to \infty }{\lim }{J}^n)P$$
  而${\lim }_{n\to \infty }{J}^n$这个极限就取决于约当标准型的对角线，如果都小于1，那么就存在极限且极限为0.约当标准型的对角线上就是矩阵的所有特征值。

谱半径与范数

  计算特征值是十分麻烦的，所以计算谱半径也是十分麻烦的。那么实际中有没有好的办法呢？可以利用矩阵的范数来判断。我们知道对于任意矩阵范数，有以下定理：
$$\rho (A)=\underset{\alpha }{\inf }\parallel A{\parallel }_{\alpha }$$
  也就是说,所有矩阵的所有范数都要大于等于谱半径：
$$\rho (A)\le \parallel A{\parallel }_{\alpha }$$
  所以实际应用中，用这个就可以快速地判断一个矩阵幂的极限是否存在。比如列和范数（1-范数），行和范数（无穷范数）就是非常好的判断方法。第一步肉眼扫一下，如果有模长和小于1的行或列，根据上述不等式，那么谱半径一定小于1.所以矩阵幂的极限就一定收敛。

矩阵幂级数

  矩阵幂级数和数学分析里的幂级数定义差不多，不过是把变量x换成了矩阵A而已。如果谱半径小于1，那么矩阵幂级数存在，并且有以下公式：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=0}^n{A}^i=(E-A{)}^{-1}$$
  证明我就不证明了。